Waarschijnlijkheidsformules

Dit artikel laat zien wat waarschijnlijkheidsformules zijn. Zo vindt u alle formules van de waarschijnlijkheidstheorie en bovendien voorbeelden van hun toepassing.

Formule van de regel van Laplace

De regel van Laplace, ook wel bekend als de wet van Laplace, is een regel die wordt gebruikt om de waarschijnlijkheid te berekenen dat een gebeurtenis plaatsvindt.

De regel van Laplace zegt dat de waarschijnlijkheid dat een gebeurtenis plaatsvindt gelijk is aan het aantal gunstige gevallen gedeeld door het totale aantal mogelijke gevallen. Om de waarschijnlijkheid te berekenen dat een gebeurtenis plaatsvindt, moeten de gevallen die aan die gebeurtenis voldoen, daarom worden gedeeld door het aantal mogelijke uitkomsten.

De formule voor de regel van Laplace is dus als volgt:

Formule voor de omgekeerde gebeurtenis

De waarschijnlijkheid van één gebeurtenis is gelijk aan één minus de waarschijnlijkheid van de tegengestelde gebeurtenis. Met andere woorden: de som van de waarschijnlijkheid van één gebeurtenis plus de waarschijnlijkheid van de tegengestelde gebeurtenis is gelijk aan 1.

De kans op het gooien van het getal 5 is bijvoorbeeld 0,167, omdat we de kans op het gooien van een ander getal kunnen bepalen met behulp van deze probabilistische eigenschap:

Voorwaardelijke waarschijnlijkheidsformule

Voorwaardelijke waarschijnlijkheid, ook wel voorwaardelijke waarschijnlijkheid genoemd, is een statistische maatstaf die de waarschijnlijkheid aangeeft dat gebeurtenis A zal plaatsvinden als een andere gebeurtenis B plaatsvindt. Dat wil zeggen dat de voorwaardelijke waarschijnlijkheid P(A|B) verwijst naar de waarschijnlijkheid dat gebeurtenis A plaatsvindt nadat gebeurtenis B al heeft plaatsgevonden.

De voorwaardelijke waarschijnlijkheid van gebeurtenis A bij gegeven gebeurtenis B is gelijk aan de waarschijnlijkheid van het snijpunt tussen gebeurtenis A en gebeurtenis B gedeeld door de waarschijnlijkheid van gebeurtenis B. Daarom is de formule voor voorwaardelijke waarschijnlijkheid als volgt:

Formule voor de unie van evenementen

De vereniging van twee gebeurtenissen A en B is de verzameling gebeurtenissen die in A, in B of in beide voorkomen. De vereniging van twee gebeurtenissen wordt uitgedrukt met het symbool ⋃, dus de vereniging van gebeurtenissen A en B wordt geschreven als A⋃B.

De waarschijnlijkheid van de vereniging van twee gebeurtenissen is gelijk aan de waarschijnlijkheid van de eerste gebeurtenis, plus de waarschijnlijkheid van de tweede gebeurtenis, minus de waarschijnlijkheid van de kruising van de gebeurtenissen.

Met andere woorden, de formule voor de waarschijnlijkheid van de vereniging van twee gebeurtenissen is P(A⋃B)=P(A)+P(B)-P(A⋂B).

Als de twee gebeurtenissen echter incompatibel zijn, is het snijpunt tussen de twee gebeurtenissen nul. Daarom wordt de waarschijnlijkheid van het samengaan van twee onverenigbare gebeurtenissen berekend door de waarschijnlijkheid van het optreden van elke gebeurtenis op te tellen.

Formule voor de kruising van gebeurtenissen

Het snijpunt van gebeurtenissen A en B wordt gevormd door alle gebeurtenissen die tegelijkertijd tot A en B behoren en wordt uitgedrukt door het symbool ⋂. Het snijpunt van gebeurtenissen A en B wordt dus geschreven als A⋂B.

De waarschijnlijkheid dat twee gebeurtenissen elkaar kruisen, is gelijk aan de waarschijnlijkheid dat één gebeurtenis plaatsvindt maal de voorwaardelijke waarschijnlijkheid dat de andere gebeurtenis plaatsvindt, gegeven de eerste gebeurtenis.

Daarom is de formule voor de waarschijnlijkheid van het snijpunt van twee gebeurtenissen P(A⋂B)=P(A) P(B|A)=P(B) P(A|B).

Als de twee gebeurtenissen echter onafhankelijk zijn, betekent dit dat de waarschijnlijkheid dat de ene gebeurtenis plaatsvindt, niet afhangt van het feit of de andere gebeurtenis plaatsvindt. Daarom is de formule voor de waarschijnlijkheid van het kruisen van de twee onafhankelijke gebeurtenissen als volgt:

Formule voor het verschil tussen gebeurtenissen

De verschilkans tussen twee gebeurtenissen verwijst naar de waarschijnlijkheid dat de ene gebeurtenis plaatsvindt zonder dat de andere gebeurtenis tegelijkertijd plaatsvindt.

Daarom is de waarschijnlijkheid van het verschil tussen de AB-successen gelijk aan de waarschijnlijkheid van het succes A minus de waarschijnlijkheid van de kruising tussen het A-succes en het B-succes. Dus de formule voor de waarschijnlijkheid van het verschil tussen de successen is de volgende:

Formule voor de totale waarschijnlijkheidsstelling

De totale waarschijnlijkheidsstelling is een wet die het mogelijk maakt om de waarschijnlijkheid van een gebeurtenis die geen deel uitmaakt van een steekproefruimte te berekenen uit de voorwaardelijke kansen van alle gebeurtenissen in genoemde steekproefruimte.

De totale waarschijnlijkheidsstelling zegt dat gegeven een reeks gebeurtenissen {A ₁ , A ₂ ,…, _An } die een partitie vormen in de steekproefruimte, de waarschijnlijkheid van gebeurtenis B gelijk is aan de som van de producten van de waarschijnlijkheid van elke gebeurtenis. gebeurtenis P(A _i ) met de voorwaardelijke waarschijnlijkheid P(B|A _i ).

Daarom is de formule voor de totale waarschijnlijkheidsstelling :

Formule van de stelling van Bayes

In de waarschijnlijkheidstheorie is de stelling van Bayes een wet die wordt gebruikt om de waarschijnlijkheid van een gebeurtenis te berekenen wanneer a priori informatie over die gebeurtenis bekend is.

De stelling van Bayes zegt dat gegeven een voorbeeldruimte gevormd door een reeks elkaar uitsluitende gebeurtenissen {A ₁ , A ₂ ,…, A _i ,…, _An } waarvan de kansen niet nul zijn en een andere gebeurtenis B, we de voorwaardelijke gebeurtenis wiskundig kunnen relateren waarschijnlijkheid van A _i gegeven de gebeurtenis B met de voorwaardelijke waarschijnlijkheid van B gegeven A _i .

De formule voor de stelling van Bayes is dus als volgt:

Overzichtstabel van alle waarschijnlijkheidsformules

Ten slotte laten we u een tabel achter met alle waarschijnlijkheidsformules als samenvatting.