Hoe u betrouwbaarheidsintervallen kunt berekenen: 3 voorbeeldproblemen

Een betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde is een reeks waarden die waarschijnlijk een populatiegemiddelde met een bepaald betrouwbaarheidsniveau bevatten.

We gebruiken de volgende formule om een betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde te berekenen:

Betrouwbaarheidsinterval = x +/- t*(s/√ n )

Goud:

• x : steekproefgemiddelde
• t: de kritische waarde van t
• s: standaardafwijking van het monster
• n: steekproefomvang

Opmerking : We vervangen bij kritische waarde door az kritische waarde in de formule als de standaarddeviatie van de populatie (σ) bekend is en de steekproefomvang groter is dan 30.

De volgende voorbeelden laten zien hoe u een betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde kunt construeren in drie verschillende scenario’s:

• De standaarddeviatie van de populatie (σ) is onbekend
• De populatiestandaarddeviatie (σ) is bekend, maar n ≤ 30
• De populatiestandaarddeviatie (σ) is bekend en n > 30

Laten we gaan!

Voorbeeld 1: betrouwbaarheidsinterval wanneer σ onbekend is

Stel dat we een betrouwbaarheidsinterval van 95% willen berekenen voor de gemiddelde hoogte (in inches) van een bepaalde plantensoort.

Stel dat we een eenvoudige willekeurige steekproef verzamelen met de volgende informatie:

• steekproefgemiddelde ( X ) = 12
• steekproefomvang (n) = 19
• steekproefstandaardafwijking (s) = 6,3

We kunnen de volgende formule gebruiken om dit betrouwbaarheidsinterval te construeren:

• 95% BI = x +/- t*(s/√ n )
• 95% BI = 12 +/- t _{n-1, α/2} *(6,3/√ 19 )
• 95% BI = 12 +/- t _18,025 *(6,3/√ 19 )
• 95% BI = 12 +/- 2,1009*(6,3/√ 19 )
• 95% BI = (8.964; 15.037)

Het 95% betrouwbaarheidsinterval voor de gemiddelde populatiehoogte voor deze specifieke plantensoort is (8,964 inch, 15,037 inch) .

Opmerking #1 : We hebben de inverse t-verdelingscalculator gebruikt om de kritische t-waarde te vinden die hoort bij 18 vrijheidsgraden en een betrouwbaarheidsniveau van 0,95.

Opmerking #2 : Omdat de standaardafwijking van de populatie (σ) onbekend is, hebben we de kritische waarde t gebruikt bij het berekenen van het betrouwbaarheidsinterval.

Voorbeeld 2: Betrouwbaarheidsinterval wanneer σ bekend is maar n ≤ 30

Stel dat we een betrouwbaarheidsinterval van 99% willen berekenen voor de gemiddelde score van een bepaald toelatingsexamen voor een universiteit.

Stel dat we een eenvoudige willekeurige steekproef verzamelen met de volgende informatie:

• steekproefgemiddelde ( X ) = 85
• steekproefomvang (n) = 25
• standaarddeviatie van de populatie (σ) = 3,5

We kunnen de volgende formule gebruiken om dit betrouwbaarheidsinterval te construeren:

• 99% BI = x +/- t*(s/√ n )
• 99% BI = 85 +/- t _{n-1, α/2} *(3,5/√ 25 )
• 99% BI = 85 +/- t _24,005 *(3,5/√ 25 )
• 99% BI = 85 +/- 2,7969*(3,5/√ 25 )
• 99% BI = (83,042, 86,958)

Het 99% betrouwbaarheidsinterval voor de gemiddelde score van de bevolking op dit toelatingsexamen voor de universiteit is (83.042, 86.958) .

Opmerking #1 : We hebben de inverse t-verdelingscalculator gebruikt om de kritische t-waarde te vinden die hoort bij 24 vrijheidsgraden en een betrouwbaarheidsniveau van 0,99.

Opmerking #2 : Omdat de standaardafwijking van de populatie (σ) bekend was, maar de steekproefomvang (n) kleiner was dan 30, hebben we de kritische waarde t gebruikt bij het berekenen van het betrouwbaarheidsinterval.

Voorbeeld 3: Betrouwbaarheidsinterval wanneer σ bekend is en n > 30

Stel dat we een betrouwbaarheidsinterval van 90% willen berekenen voor het gemiddelde gewicht van een bepaalde schildpadsoort.

Stel dat we een eenvoudige willekeurige steekproef verzamelen met de volgende informatie:

• steekproefgemiddelde ( x ) = 300
• steekproefomvang (n) = 40
• standaarddeviatie van de populatie (σ) = 15

We kunnen de volgende formule gebruiken om dit betrouwbaarheidsinterval te construeren:

• 90% BI = x +/- z*(σ/√ n )
• 90% BI = 300 +/- 1,645*(15/√ 40 )
• 90% BI = (296.099, 303.901)

Het 90% betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde populatiegewicht van deze specifieke schildpaddensoort is (83.042, 86.958) .

Opmerking #1 : We hebben de Critical Z Value Calculator gebruikt om de kritische z-waarde te vinden die hoort bij een significantieniveau van 0,1.

Opmerking #2 : Omdat de standaardafwijking van de populatie (σ) bekend was en de steekproefomvang (n) groter was dan 30, hebben we de kritische waarde z gebruikt bij het berekenen van het betrouwbaarheidsinterval.

Aanvullende bronnen

De volgende zelfstudies bieden aanvullende informatie over betrouwbaarheidsintervallen:

4 voorbeelden van betrouwbaarheidsintervallen in het echte leven
Hoe u een betrouwbaarheidsintervalconclusie schrijft
De 6 betrouwbaarheidsintervalhypothesen om te controleren