Een inleiding tot de negatieve binominale verdeling

De negatieve binominale verdeling beschrijft de kans op het ervaren van een bepaald aantal mislukkingen voordat een bepaald aantal successen wordt ervaren in een reeks Bernoulli-proeven.

Een Bernoulli-proef is een experiment met slechts twee mogelijke uitkomsten – ‘succes’ of ‘mislukking’ – en de kans op succes is elke keer dat het experiment wordt uitgevoerd hetzelfde.

Een voorbeeld van een Bernoulli-essay is het opgooien van munten. De munt kan slechts op twee kop landen (we zouden kop een „hit“ kunnen noemen en staart een „mislukking“) en de kans op succes bij elke opgooi is 0,5, ervan uitgaande dat de munt eerlijk is.

Als het een willekeurige variabele is

P(X=k) = _k+r-1 C _k * (1-p) ^r *p ^k

Goud:

• k: aantal mislukkingen
• r: aantal successen
• p: kans op succes bij een bepaalde proef
• _k+r-1 C _k : aantal combinaties van (k+r-1) dingen die k tegelijk worden genomen

Laten we bijvoorbeeld zeggen dat we een munt opgooien en een ’succesvolle‘ gebeurtenis definiëren als landen op kop. Wat is de kans dat je zes mislukkingen ervaart voordat je in totaal vier successen ervaart?

Om deze vraag te beantwoorden, kunnen we de negatief binomiale verdeling gebruiken met de volgende parameters:

• k: aantal mislukkingen = 6
• r: aantal successen = 4
• p: kans op succes bij een bepaalde proef = 0,5

Als we deze getallen in de formule stoppen, ontdekken we dat de waarschijnlijkheid:

P(X=6 storingen) = _6+4-1 C ₆ * (1-.5) ⁴ *(.5) ⁶ = (84)*(.0625)*(.015625) = 0,08203 .

Eigenschappen van de negatieve binominale verdeling

De negatieve binominale verdeling heeft de volgende eigenschappen:

Het gemiddelde aantal mislukkingen dat we verwachten voordat we r successen behalen, is pr/(1-p) .

De variantie van het aantal verwachte mislukkingen voordat r successen worden behaald, is pr / (1-p) ² .

Laten we bijvoorbeeld zeggen dat we een munt opgooien en een ’succesvolle‘ gebeurtenis definiëren als landen op kop.

Het gemiddelde aantal mislukkingen (bijvoorbeeld staartlanding) dat we zouden verwachten voordat we vier successen behalen, zou pr/(1-p) = (.5*4) / (1-.5) = 4 zijn.

De variantie van het aantal mislukkingen dat we verwachten voordat we vier successen behalen, is pr/(1-p) ² = (.5*4)/(1-.5) ² = 8 .

Oefenproblemen met negatieve binomiale verdeling

Gebruik de volgende oefenproblemen om uw kennis van de negatief binominale verdeling te testen.

Opmerking: we zullen de negatieve binomiale verdelingscalculator gebruiken om de antwoorden op deze vragen te berekenen.

Probleem 1

Vraag: Stel dat we een munt opgooien en een “succesvolle” gebeurtenis definiëren als het landen op kop. Wat is de kans dat je drie mislukkingen ervaart voordat je in totaal vier successen ervaart?

Antwoord: Met behulp van de negatieve binomiale verdelingscalculator met k = 3 mislukkingen, r = 4 successen en p = 0,5 vinden we dat P(X=3) = 0,15625 .

Probleem 2

Vraag: Stel dat we van deur tot deur gaan om snoep te verkopen. Wij beschouwen het als een “succes” als iemand een reep koopt. De kans dat een bepaalde persoon een reep koopt is 0,4. Wat is de kans dat je acht mislukkingen ervaart voordat je in totaal vijf successen ervaart?

Antwoord: Met behulp van de negatieve binomiale verdelingscalculator met k = 8 mislukkingen, r = 5 successen en p = 0,4 vinden we dat P(X=8) = 0,08514 .

Probleem 3

Vraag: Stel dat we een dobbelsteen gooien en een „succesvolle“ worp definiëren als landen op nummer 5. De kans dat de dobbelsteen bij een bepaalde worp op een 5 landt, is 1/6 = 0,167. Wat is de kans dat je vier mislukkingen ervaart voordat je in totaal drie successen ervaart?

Antwoord: Met behulp van de negatieve binomiale verdelingscalculator met k = 4 mislukkingen, r = 3 successen en p = 0,167 vinden we dat P(X=4) = 0,03364 .