Mediaan

Von Dr.benjamin anderson August 5, 2023 Statistieken Keine Kommentare

In dit artikel wordt uitgelegd wat de mediaan van een dataset is en hoe u de mediaan voor niet-gegroepeerde gegevens en gegroepeerde gegevens kunt vinden. Bovendien kunt u aan het einde de mediaan van elke gegevensreeks berekenen met de online rekenmachine.

Wat is de mediaan?

In de statistiek is de mediaan de middelste waarde van alle gegevens, gerangschikt van klein naar groot. Met andere woorden: de mediaan verdeelt de geordende dataset in twee gelijke delen.

De mediaan is een maatstaf voor de centrale positie die wordt gebruikt om een waarschijnlijkheidsverdeling te beschrijven.

👉 U kunt de onderstaande rekenmachine gebruiken om de mediaan van elke dataset te berekenen.

Over het algemeen wordt de term Zelf vaak gebruikt als symbool van het midden.

Andere centrale positiemetingen zijn gemiddelde en modus; hieronder zullen we de verschillen daartussen zien. Op dezelfde manier zijn maatstaven van niet-centrale positie kwartielen, kwintielen, decielen, percentielen, enz.

Opgemerkt moet worden dat de mediaan van een dataset samenvalt met het tweede kwartiel, het vijfde deciel en het 50e percentiel.

Hoe de mediaan te berekenen

De berekening van de mediaan hangt af van het feit of het totale aantal gegevens even of oneven is:

Als het totale aantal gegevens oneven is, is de mediaan de waarde die precies in het midden van de gegevens valt. Dat wil zeggen de waarde die zich op positie (n+1)/2 van de gesorteerde gegevens bevindt.

$Me=x_{\frac{n+1}{2}$

Als het totale aantal gegevenspunten even is, is de mediaan het gemiddelde van de twee gegevenspunten in het midden. Dat wil zeggen het rekenkundig gemiddelde van de waarden die gevonden worden op posities n/2 en n/2+1 van de geordende data.

$Me=\cfrac{x_{\frac{n}{2}}+x_{\frac{n}{2}+1}}{2}$

Goud

$n$

is het totale aantal gegevensitems in de steekproef.

Voorbeelden van het berekenen van de mediaan

Om u te laten zien hoe de mediaan wordt berekend, staan hieronder twee praktijkvoorbeelden, één voor elk geval. Eerst wordt de mediaan van een oneven dataset berekend, daarna wordt de mediaan berekend van een even dataset.

Mediaan van oneven gegevens

Bereken de mediaan van de volgende gegevens: 3, 4, 1, 6, 7, 4, 8, 2, 8, 4, 5

Het eerste dat we moeten doen voordat we berekeningen uitvoeren, is de gegevens ordenen, dat wil zeggen dat we de getallen van klein naar groot plaatsen.

$1 \ 2 \ 3 \ 4 \ 4 \ 4 \ 5 \ 6 \ 7 \ 8 \ 8$

In dit geval hebben we 11 waarnemingen, dus het totale aantal gegevens is oneven. Daarom passen we de volgende formule toe om de positie van de mediaan te berekenen:

$\cfrac{n+1}{2}=\cfrac{11+1}{2}=6$

De mediaan zal daarom de gegevens zijn die zich op de zesde positie bevinden, wat in dit geval overeenkomt met de waarde 4.

$Me=x_6=4$

mediaan van even gegevens

Wat is de mediaan van de volgende waarnemingen? 2, 6, 2, 8, 9, 4, 7, 11, 4, 13

Om de mediaan te verkrijgen, moet u eerst alle gegevens in oplopende volgorde sorteren:

$2 \ 2 \ 4 \ 4 \ 6 \ 7 \ 8 \ 9 \ 11 \ 13$

Dit voorbeeld verschilt van het vorige, omdat we deze keer in totaal 10 waarnemingen hebben, wat een even getal is. Daarom is de procedure voor het bepalen van het gemiddelde iets ingewikkelder.

Je moet eerst de twee middenposities berekenen waartussen de mediaan gevonden gaat worden, hiervoor moet je de volgende twee formules toepassen:

$\cfrac{n}{2}=\cfrac{10}{2}=5$

$\cfrac{n}{2}+1=\cfrac{10}{2}+1=6$

De mediaan zal dus tussen de vijfde en de zesde positie liggen, wat respectievelijk overeenkomt met de waarden 6 en 7. Concreet zal de mediaan het rekenkundig gemiddelde van genoemde waarden zijn:

$Me=\cfrac{x_5+x_6}{2}=\cfrac{6+7}{2}=6,5$

gemiddelde rekenmachine

Voer een statistische gegevensset in de volgende rekenmachine in om de mediaan ervan te berekenen. Gegevens moeten worden gescheiden door een spatie en moeten worden ingevoerd met de punt als decimaal scheidingsteken.

Mediaan voor gegroepeerde gegevens

Om de mediaan te berekenen wanneer gegevens in intervallen zijn gegroepeerd, moet u eerst het interval of de bak vinden waarin de mediaan valt met behulp van de volgende formule:

$\cfrac{n+1}{2}$

De mediaan zal dus in het interval liggen waarvan de cumulatieve absolute frequentie onmiddellijk groter is dan het getal verkregen met de vorige algebraïsche uitdrukking.

En zodra we weten tot welk interval de mediaan behoort, moeten we de volgende formule toepassen om de exacte waarde van de mediaan te vinden:

$Me=L_i+ \cfrac{\displaystyle\frac{n+1}{2}-F_{i-1}}{f_i}\cdot I_i$

Goud:

_Li is de ondergrens van het interval waarin de mediaan ligt.
n is het totale aantal waarnemingen.
Fi _-1 is de geaccumuleerde absolute frequentie van het vorige interval.
_fi is de absolute frequentie van het interval waarin de mediaan ligt.
I _i is de breedte van het middelste interval.

Als voorbeeld heb je hieronder een oefening opgelost waarin de mediaan van gegevens gegroepeerd in intervallen wordt berekend.

Om de mediaan van de dataset te vinden, moeten we eerst het bereik bepalen waarin deze valt. Om dit te doen, gebruiken we de volgende formule:

$\cfrac{n+1}{2}=\cfrac{30+1}{2} =15,5 \quad \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad [60,70)$

De mediaan zal dus in het interval liggen waarvan de cumulatieve absolute frequentie onmiddellijk groter is dan 15,5, wat in dit geval het interval [60,70) is waarvan de cumulatieve absolute frequentie 26 is. En zodra we het mediaaninterval kennen, passen we de tweede formule van de proces:

$Me=L_i+ \cfrac{\displaystyle\frac{n+1}{2}-F_{i-1}}{f_i}\cdot I_i$

$Me=60+\cfrac{\displaystyle\frac{30+1}{2}-15}{11}\cdot 10=60,45$

Uiteindelijk is de mediaan van de gepoolde dataset 60,45. Zoals u kunt zien, is de mediaan bij dit soort problemen meestal een decimaal getal.

mediaan, gemiddelde en modus

In deze laatste sectie zullen we zien wat het verschil is tussen de mediaan, het gemiddelde en de modus. Welnu, dit zijn drie statistische metingen van de centrale positie, maar hun betekenis is anders.

Zoals we hebben gezien, wordt de mediaan gedefinieerd als de waarde die de centrale positie inneemt wanneer de gegevens worden geordend.

Het gemiddelde is daarentegen de gemiddelde waarde van alle statistische gegevens. Om het gemiddelde te berekenen, moet u alle gegevens bij elkaar optellen en het resultaat vervolgens delen door het aantal gegevenspunten.

Ten slotte is de modus de meest herhaalde waarde in een gegevensreeks.

Zoals u kunt zien, helpen alle drie de statistische maatstaven bij het beschrijven van een waarschijnlijkheidsverdeling, omdat ze een idee geven van de centrale waarden ervan. Geen enkele maatregel is echter beter dan een andere, ze verwijzen eenvoudigweg naar verschillende concepten.

Über den Autor

Dr.benjamin anderson

Ik ben Benjamin, een gepensioneerde hoogleraar statistiek die nu een toegewijde Statorials-lesgever is. Ik heb uitgebreide ervaring en expertise op het gebied van statistiek en ik ben vastbesloten om mijn kennis te delen met studenten via Statorials. Lees verder