De algemene vermenigvuldigingsregel (uitleg en voorbeelden)

De algemene vermenigvuldigingsregel stelt dat de waarschijnlijkheid dat twee gebeurtenissen, A en B, beide voorkomen, als volgt kan worden berekend:

P(A en B) = P(A) * P(B|A)

De verticale balk | betekent ‘gegeven’. P(B|A) kan dus worden gelezen als „de waarschijnlijkheid dat B zal optreden, gegeven dat A heeft plaatsgevonden.“

Als gebeurtenissen A en B onafhankelijk zijn, dan is P(B|A) eenvoudigweg gelijk aan P(B) en kan de regel als volgt worden vereenvoudigd:

P(A en B) = P(A) * P(B)

Laten we enkele voorbeelden van onafhankelijke en afhankelijke gebeurtenissen bekijken om te zien hoe we deze algemene vermenigvuldigingsregel in de praktijk kunnen toepassen.

De algemene vermenigvuldigingsregel voor afhankelijke gebeurtenissen

De volgende voorbeelden illustreren hoe u de algemene vermenigvuldigingsregel kunt gebruiken om kansen te vinden die verband houden met twee afhankelijke gebeurtenissen. In elk voorbeeld wordt de waarschijnlijkheid dat de tweede gebeurtenis plaatsvindt, beïnvloed door de uitkomst van de eerste gebeurtenis.

Voorbeeld 1: ballen in een urn

In een urn zitten 4 rode ballen en 3 groene ballen. Bob selecteert willekeurig 2 ballen uit de urn, zonder ze te vervangen. Hoe groot is de kans dat hij 2 rode ballen kiest?

Oplossing: De kans dat hij bij de eerste poging een rode bal kiest, is 4/7. Zodra deze bal is verwijderd, is de kans dat hij bij de tweede poging een rode bal selecteert 3/6. De kans dat hij 2 rode ballen selecteert, kan dus als volgt worden berekend:

P (beide rood) = 4/7 * 3/7 ≈ 0,2249

Voorbeeld 2: kaarten in een kaartspel

Een kaartspel bevat 26 zwarte kaarten en 26 rode kaarten. Debbie selecteert willekeurig 2 kaarten uit de stapel, zonder ze te vervangen. Hoe groot is de kans dat zij 2 rode kaarten kiest?

Oplossing: De kans dat ze bij de eerste poging een rode kaart kiest, is 26/52. Zodra deze kaart is verwijderd, is de kans dat ze bij de tweede poging een rode kaart trekt 25/51. De kans dat zij 2 rode kaarten trekt, kan dus als volgt worden berekend:

P (beide rood) = 26/52 * 25/51 ≈ 0,2451

De algemene vermenigvuldigingsregel voor onafhankelijke gebeurtenissen

De volgende voorbeelden illustreren hoe u de algemene vermenigvuldigingsregel kunt gebruiken om kansen te vinden die verband houden met twee onafhankelijke gebeurtenissen. In elk voorbeeld wordt de waarschijnlijkheid dat de tweede gebeurtenis plaatsvindt niet beïnvloed door de uitkomst van de eerste gebeurtenis.

Voorbeeld 1: gooi twee munten

Stel dat we twee munten trekken. Wat is de kans dat de twee munten kop opleveren?

Oplossing: De kans dat de eerste munt kop is, is 1/2. Ongeacht aan welke kant de eerste munt terechtkomt, is de kans dat de tweede munt kop oplevert ook 1/2. De kans dat de twee munten kop opleveren, kan dus als volgt worden berekend:

P (beide landen op kop) = 1/2 * 1/2 = 0,25

Voorbeeld 2: Gooi twee dobbelstenen

Stel dat we twee dobbelstenen tegelijk gooien. Wat is de kans dat beide dobbelstenen op nummer 1 terechtkomen?

Oplossing: De kans dat de eerste dobbelsteen op “1” valt is 1/6. Ongeacht aan welke kant de eerste dobbelsteen terechtkomt, is de kans dat de tweede dobbelsteen op “1” terechtkomt ook 1/6. Dus de kans dat beide dobbelstenen op „1“ landen, kan als volgt worden berekend:

P(Beide landen op “1”) = 1/6 * 1/6 = 1/36 ≈ 0,0278