Asymmetriecoëfficiënt

Von Dr.benjamin anderson August 5, 2023 Statistieken Keine Kommentare

In dit artikel wordt uitgelegd wat de asymmetriecoëfficiënt is, hoe deze wordt berekend en hoe deze moet worden geïnterpreteerd. Concreet zul je ontdekken hoe je de drie soorten asymmetriecoëfficiënten kunt berekenen die het meest worden gebruikt in de statistiek.

Wat is de asymmetriecoëfficiënt?

In de statistiek is de asymmetriecoëfficiënt een coëfficiënt waarmee je de asymmetrie van een verdeling kunt berekenen. Dat wil zeggen dat de scheefheidscoëfficiënt wordt gebruikt om te bepalen of een functie positief scheef, negatief scheef of symmetrisch is.

De asymmetriecoëfficiënt kan ook de asymmetrie-index worden genoemd.

Houd er rekening mee dat de scheefheid van een verdeling afhangt van de vorm van de curve. De verschillende soorten asymmetrie zijn dus:

Positieve scheefheid : De verdeling heeft meer verschillende waarden rechts van het gemiddelde dan links.
Negatieve scheefheid : de verdeling heeft meer verschillende waarden links van het gemiddelde dan rechts ervan.
Symmetrie : De verdeling heeft evenveel waarden links als rechts van het gemiddelde.

Afhankelijk van het geval worden hoofdzakelijk drie soorten asymmetriecoëfficiënten gebruikt: de Fisher-coëfficiënt, de Pearson-coëfficiënt en de Bowley-coëfficiënt. Hoe u elk type scheefheidscoëfficiënt kunt berekenen, wordt hieronder in detail uitgelegd.

Fisher’s asymmetriecoëfficiënt

De scheefheidscoëfficiënt van Fisher is gelijk aan het derde moment rond het gemiddelde gedeeld door de standaarddeviatie van de steekproef. Daarom is de formule voor de asymmetriecoëfficiënt van Fisher :

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\mu_3}{\sigma^3}$

Op equivalente wijze kan een van de volgende twee formules worden gebruikt om de Fisher-coëfficiënt te berekenen:

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N\left(x_i-\mu\right)^3}{N\cdot \sigma ^3}$

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\operatorname{E}[X^3] - 3\mu\sigma^2 - \mu^3}{\sigma^3}$

Goud

$E$

is de wiskundige verwachting,

$\mu$

het rekenkundig gemiddelde,

$\sigma$

de standaarddeviatie en

$N$

het totale aantal gegevens.

Aan de andere kant, als de gegevens gegroepeerd zijn, kunt u de volgende formule gebruiken:

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N\left(x_i-\mu\right)^3\cdot f_i}{N\cdot \sigma ^3}$

Waar in dit geval

$x_i$

Het is het teken van klasse en

$f_i$

de absolute frequentie van de cursus.

Nadat de waarde ervan is berekend, is de interpretatie van de Fisher-asymmetriecoëfficiënt als volgt:

Als de scheefheidscoëfficiënt van Fisher positief is, is de verdeling positief scheef.
Als de scheefheidscoëfficiënt van Fisher negatief is, is de verdeling negatief scheef.
Als de verdeling symmetrisch is, is de asymmetriecoëfficiënt van Fisher gelijk aan nul. Het omgekeerde is niet waar, wat betekent dat het feit dat de Fisher-coëfficiënt nul is, niet altijd impliceert dat de verdeling symmetrisch is.

Pearson’s asymmetriecoëfficiënt

De scheefheidscoëfficiënt van Pearson is gelijk aan het verschil tussen het steekproefgemiddelde en de steekproefmodus gedeeld door de standaardafwijking (of standaardafwijking). De formule voor de Pearson-asymmetriecoëfficiënt is daarom als volgt:

$A_p=\cfrac{\mu-Mo}{\sigma}$

Goud

$A_p$

is de Pearson-coëfficiënt,

$\mu$

het rekenkundig gemiddelde,

$Mo$

mode en

$\sigma$

de standaardafwijking.

Houd er rekening mee dat de Pearson-scheefheidscoëfficiënt alleen kan worden berekend als het een unimodale verdeling is, dat wil zeggen als er slechts één modus in de gegevens aanwezig is.

In sommige statistische boeken wordt de Pearson-scheefheidscoëfficiënt berekend met behulp van de mediaan in plaats van de modus, maar over het algemeen wordt de bovenstaande formule gebruikt.

Nadat de Pearson-asymmetriecoëfficiënt is berekend, moet de waarde ervan worden geïnterpreteerd volgens de volgende regels:

Als de Pearson-scheefheidscoëfficiënt positief is, betekent dit dat de verdeling positief scheef is.
Als de Pearson-scheefheidscoëfficiënt negatief is, betekent dit dat de verdeling negatief scheef is.
Als de Pearson-scheefheidscoëfficiënt nul is, betekent dit dat de verdeling symmetrisch is.

Bowley’s asymmetriecoëfficiënt

De scheefheidscoëfficiënt van Bowley is gelijk aan de som van het derde kwartiel plus het eerste kwartiel minus tweemaal de mediaan gedeeld door het verschil tussen het derde en het eerste kwartiel. De formule voor deze asymmetriecoëfficiënt is daarom als volgt:

$A_B=\cfrac{Q_3+Q_1-2\cdot Me}{Q_3-Q_1}$

Goud

$Q_1$

$Q_3$

Dit zijn respectievelijk het eerste en derde kwartiel en

$Me$

is de mediaan van de verdeling.

Bedenk dat de mediaan van een verdeling samenvalt met het tweede kwartiel.

➤ Zie: kwartielen vinden

De interpretatie van de Bowley-coëfficiënt gebeurt op dezelfde manier als bij de twee voorgaande typen asymmetriecoëfficiënten:

Als de scheefheidscoëfficiënt van Bowley positief is, is de verdeling positief scheef.
Als de scheefheidscoëfficiënt van Bowley negatief is, is de verdeling negatief scheef.
Als de scheefheidscoëfficiënt van Bowley nul is, is de verdeling symmetrisch.

Über den Autor

Dr.benjamin anderson

Ik ben Benjamin, een gepensioneerde hoogleraar statistiek die nu een toegewijde Statorials-lesgever is. Ik heb uitgebreide ervaring en expertise op het gebied van statistiek en ik ben vastbesloten om mijn kennis te delen met studenten via Statorials. Lees verder

Wat is de asymmetriecoëfficiënt?

Fisher’s asymmetriecoëfficiënt

Pearson’s asymmetriecoëfficiënt

Bowley’s asymmetriecoëfficiënt

Über den Autor

Dr.benjamin anderson

Einen Kommentar hinzufügen