Bernoulli-distributie

Von Dr.benjamin anderson August 4, 2023 Waarschijnlijkheid Keine Kommentare

In dit artikel wordt uitgelegd wat de Bernoulli-verdeling is en wat de formule ervan is. Daarnaast vindt u de eigenschappen van de Bernoulli-verdeling en een opgeloste oefening om de betekenis ervan beter te begrijpen.

Wat is de Bernoulli-verdeling?

De Bernoulli-verdeling , ook bekend als de dichotome verdeling , is een kansverdeling die een discrete variabele vertegenwoordigt die slechts twee uitkomsten kan hebben: „succes“ of „mislukking“.

In de Bernoulli-verdeling is ’succes‘ de uitkomst die we verwachten en heeft deze de waarde 1, terwijl de uitkomst van ‚mislukking‘ een andere uitkomst is dan de verwachte en de waarde 0 heeft. Dus als de waarschijnlijkheid van de uitkomst ‚ succes” is p , de waarschijnlijkheid van de uitkomst van “mislukking” is q=1-p .

$\begin{array}{c}X\sim \text{Bernoulli}(p)\\[2ex]\begin{array}{l} \text{\'Exito}\ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ P[X=1]=p\\[2ex]\text{Fracaso}\ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ P[X=0]=q=1-p\end{array}\end{array}$

De Bernoulli-verdeling is vernoemd naar de Zwitserse statisticus Jacob Bernoulli.

In de statistiek heeft de Bernoulli-verdeling hoofdzakelijk één toepassing: het definiëren van de waarschijnlijkheden van experimenten waarbij er slechts twee mogelijke uitkomsten zijn: succes en mislukking. Een experiment dat de Bernoulli-verdeling gebruikt, wordt dus een Bernoulli-test of Bernoulli-experiment genoemd.

Bernoulli-verdelingsformule

Als p de waarschijnlijkheid is dat de uitkomst van „succes“ optreedt, is de waarschijnlijkheid van de Bernoulli-verdeling gelijk aan p verhoogd tot x vermenigvuldigd met 1-p verhoogd tot 1-x . De kansen van de Bernoulli-verdeling kunnen dus worden berekend met behulp van de volgende formule :

Merk op dat in een Bernoulli-verdeling de waarde van x alleen 0 (mislukking) of 1 (succes) kan zijn.

Aan de andere kant kan de vorige formule ook worden geschreven met behulp van de volgende equivalente uitdrukking:

$\displaystyle P[X=x]=\left\{\begin{array}{ll}1-p & \text{si } x=0\\[2ex]p& \text{si } x=1\end{array}\right.$

Voorbeeld van Bernoulli-distributie

Nu we de definitie van de Bernoulli-verdeling kennen en wat de formule ervan is, gaan we een concreet voorbeeld bekijken van de Bernoulli-verdeling.

Om een spel te winnen moet een speler een dobbelsteen gooien en een 2 krijgen, anders wint een andere speler het spel en gaat het spel dus verloren. Bereken de kans op succes en mislukking.

Een dobbelsteen heeft zes mogelijke uitkomsten (1, 2, 3, 4, 5, 6), dus in dit geval is de monsterruimte van het experiment:

$\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$

In ons geval is het enige geval van succes het verkrijgen van het getal twee, dus de kans op succes bij het toepassen van de regel van Laplace is gelijk aan één gedeeld door het totale aantal mogelijke uitkomsten (6):

$p=\cfrac{1}{6}=0,1667$

Aan de andere kant, als er een ander getal verschijnt bij het gooien van de dobbelsteen, wordt het resultaat van het experiment als een mislukking beschouwd, omdat de speler het spel verliest. Deze waarschijnlijkheid is dus gelijk aan één minus de eerder berekende waarschijnlijkheid:

$q=1-p=1-\cfrac{1}{6}=\cfrac{5}{6}=0,8333$

Kortom, de Bernoulli-verdeling van dit experiment wordt gedefinieerd door de volgende uitdrukking:

$\displaystyle P[X=x]=\left\{\begin{array}{ll}\cfrac{5}{6} & \text{si } x=0\\[4ex]\cfrac{1}{6} & \text{si } x=1\end{array}\right.$

Zoals je hieronder kunt zien, kunnen de kansen van de Bernoulli-verdeling ook worden gevonden door de bovenstaande formule toe te passen:

$P[X=x]=p^x\cdot (1-p)^{1-x}$

$\displaystyle P[X=0]=\left(\frac{1}{6}\right)^0\cdot \left(1-\frac{1}{6}\right)^{1-0}=\cfrac{5}{6}$

$\displaystyle P[X=1]=\left(\frac{1}{6}\right)^1\cdot \left(1-\frac{1}{6}\right)^{1-1}=\cfrac{1}{6}$

Kenmerken van de Bernoulli-verdeling

Hieronder staan de belangrijkste kenmerken van de Bernoulli-verdeling.

De Bernoulli-verdeling kan alleen de waarde 1 (succes) of 0 (mislukking) aannemen.

$x=\{0\ ; 1\}$

Het gemiddelde van de Bernoulli-verdeling is gelijk aan de waarschijnlijkheid van het optreden van de ‘succes’-uitkomst.

$E[X]=p$

De variantie van een Bernoulli-verdeling kan worden berekend door de kansen op het optreden van de uitkomst ‘succes’ en ‘mislukking’ te vermenigvuldigen. Of, op equivalente wijze, de variantie is p maal 1-p .

$Var(X)=p\cdot q=p\cdot (1-p)$

De waarde van de modus van een Bernoulli-verdeling hangt af van de kansen op ‘succes’ en ‘mislukking’. De wijze van dit type distributie wordt dus gedefinieerd door de volgende uitdrukking:

 *** QuickLaTeX cannot compile formula:
\displaystyle Mo=\left\{\begin{array}{ll}0 & \text{si } q>p\\[2ex]0 \ ;1 & \text{si } q=p\\[2ex] 1 & \text{si } q<ul><li> The formula for the probability function of a Bernoulli distribution is as follows:</li></ul>[latex] \displaystyle P[X=x]= \left\{\begin{array}{ll}1-p & \text{si } x=0\\[2ex]p& \text{si } x=1\end{array}\right.

*** Error message:
Missing $ inserted.
leading text: \displaystyle
Please use \mathaccent for accents in math mode.
leading text: ...> The formula for the probability function
\begin{array} on input line 8 ended by \end{document}.
leading text: \end{document}
Improper \prevdepth.
leading text: \end{document}
Missing $ inserted.
leading text: \end{document}
Missing } inserted.
leading text: \end{document}
Missing \cr inserted.
leading text: \end{document}
Missing $ inserted.
leading text: \end{document}
You can't use `\end' in internal vertical mode.
leading text: \end{document}
\begin{array} on input line 8 ended by \end{document}.
leading text: \end{document}
Missing } inserted.
leading text: \end{document}
Emergency stop.

Aan de andere kant wordt de cumulatieve waarschijnlijkheidsfunctie van de Bernoulli-verdeling gedefinieerd door de volgende uitdrukking:

$\displaystyle P[X\leq x]=\left\{\begin{array}{ll}0 & \text{si } x<0\\[2ex]1-p& \text{si }0 \leq x<1\\[2ex]1 & \text{si } x\geq 1\end{array}\right.$

De asymmetriecoëfficiënt van een Bernoulli-verdeling wordt berekend met de volgende uitdrukking:

$A=\cfrac{q-p}{\sqrt{p\cdot q}}$

Op dezelfde manier hangt de kurtosis van een Bernoulli-verdeling af van de waarde van de parameter p en kan worden gevonden door de volgende formule toe te passen:

$C=\cfrac{3p^2-3p+1}{p(1-p)}$

Bernoulli-verdeling en binominale verdeling

In deze sectie zullen we het verschil zien tussen de Bernoulli-verdeling en de binominale verdeling, aangezien het twee soorten gerelateerde waarschijnlijkheidsverdelingen zijn.

De binominale verdeling telt het aantal „succesvolle“ resultaten verkregen uit een reeks Bernoulli-proeven. Deze Bernoulli-experimenten moeten onafhankelijk zijn, maar dezelfde kans op succes hebben.

Daarom is de binomiale verdeling de som van een reeks variabelen die een Bernoulli-verdeling volgt , allemaal gedefinieerd door dezelfde parameter p .

$\begin{array}{c}X_i\sim \text{Bernoulli}(p)\\[2ex]\displaystyle \sum_{i=1}^nX_i\sim \text{Bin}(n,p)\end{array}$

In de Bernoulli-verdeling is er dus slechts één Bernoulli-experiment, terwijl er in de binomiale verdeling een reeks Bernoulli-experimenten is.

Über den Autor

Dr.benjamin anderson

Ik ben Benjamin, een gepensioneerde hoogleraar statistiek die nu een toegewijde Statorials-lesgever is. Ik heb uitgebreide ervaring en expertise op het gebied van statistiek en ik ben vastbesloten om mijn kennis te delen met studenten via Statorials. Lees verder