Betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde

Von Dr.benjamin anderson August 3, 2023 Statistieken Keine Kommentare

In dit artikel wordt uitgelegd wat het betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde in de statistiek is en waarvoor het wordt gebruikt. Op dezelfde manier ontdekt u hoe u het betrouwbaarheidsinterval van het gemiddelde kunt berekenen, evenals een stapsgewijze oefening.

Wat is het betrouwbaarheidsinterval van het gemiddelde?

Het betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde is een interval dat een reeks toegestane waarden biedt voor het gemiddelde van een populatie. Met andere woorden: het betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde geeft ons een maximale waarde en een minimale waarde waartussen de waarde van het populatiegemiddelde wordt gekoppeld aan een foutmarge.

Als het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor een populatiegemiddelde bijvoorbeeld (6,10) is, betekent dit dat 95% van de tijd het populatiegemiddelde tussen 6 en 10 zal liggen.

Daarom wordt het betrouwbaarheidsinterval van het gemiddelde gebruikt om twee waarden te schatten waartussen een populatiegemiddelde ligt. Het betrouwbaarheidsinterval van het gemiddelde is dus erg handig voor het benaderen van het gemiddelde van een populatie wanneer alle waarden onbekend zijn.

Betrouwbaarheidsintervalformule voor het gemiddelde

Ervan uitgaande dat het proces voor het invoeren van een variabele als volgt gaat:

$Z=\cfrac{X-\mu}{\displaystyle\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \sim N(0,1)$

Het betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde wordt berekend door het optellen en aftrekken van het steekproefgemiddelde van de waarde van Z _α/2 vermenigvuldigd met de standaarddeviatie (σ) en gedeeld door de vierkantswortel van de omvang van de steekproef (n). Daarom is de formule voor het berekenen van het betrouwbaarheidsinterval van het gemiddelde:

$\displaystyle \left(\overline{x}-z_{\alpha/2}\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \ , \ \overline{x}+z_{\alpha/2}\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$

Voor grote steekproeven en een betrouwbaarheidsniveau van 95% is de kritische waarde Z _α/2 = 1,96 en voor een betrouwbaarheidsniveau van 99% is de kritische waarde Z _α/2 = 2,576.

De bovenstaande formule wordt gebruikt als de populatievariantie bekend is. Als de populatievariantie echter onbekend is, wat meestal het geval is, wordt het betrouwbaarheidsinterval van het gemiddelde berekend met behulp van de volgende formule:

$\displaystyle \left(\overline{x}-t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \ , \ \overline{x}+t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \right)$

Goud:

$\overline{x}$

is het steekproefgemiddelde.
$t_{\alpha/2}$

is de waarde van de Student’s t-verdeling van n-1 vrijheidsgraden met een waarschijnlijkheid van α/2.
$s$

is de standaardafwijking van het monster.
$n$

is de steekproefomvang.

Voorbeeld van het berekenen van een betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde

Zodat u kunt zien hoe het betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde van een populatie wordt berekend, laten we hieronder een voorbeeld achter dat stap voor stap wordt opgelost.

We hebben een voorbeeld van 8 waarnemingen met de onderstaande waarden. Wat is het betrouwbaarheidsinterval van het populatiegemiddelde bij een betrouwbaarheidsniveau van 95%?

206 203 201 212
194 176 208 201

Zoals we in de vorige sectie hebben gezien, is de formule voor het verkrijgen van het betrouwbaarheidsinterval van een populatiegemiddelde als we de standaarddeviatie van de populatie niet kennen, als volgt:

$\displaystyle \left(\overline{x}-t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \ , \ \overline{x}+t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \right)$

Om het betrouwbaarheidsinterval van het gemiddelde te bepalen, moeten we dus eerst het steekproefgemiddelde en de standaarddeviatie berekenen.

$\begin{array}{c}\mu =200,13 \\[4ex]s=11,13\end{array}$

➤ Zie: Rekenkundige gemiddelde rekenmachine
➤ Zie: Standaarddeviatiecalculator

Omdat we het betrouwbaarheidsinterval willen vinden met een betrouwbaarheidsniveau van 1-α=95% en de steekproefomvang 8 is, moeten we de Student’s t-verdelingstabel raadplegen en zien welke waarde overeenkomt met t _0.025|7 .

$1-\alpha=0,95 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \alpha=0,05 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ \alpha/2=0,025$

$\begin{array}{c}t_{\alpha/2| n-1}= \ \color{orange}\bm{?}\\[4ex]t_{0,025| 7}=2,365\end{array}$

➤ Zie: Waarden van de Student t-verdelingstabel

We passen dus de betrouwbaarheidsintervalformule toe voor het gemiddelde en voeren de berekeningen uit om de grenzen van het interval te vinden:

$\displaystyle \left(\overline{x}-t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \ , \ \overline{x}+t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \right)$

$\displaystyle \left(200,13-2,365\cdot \frac{11,13}{\sqrt{8}} \ , \ 200,13+2,365\cdot \frac{11,13}{\sqrt{8}} \right)$

$\displaystyle \left(190,82 \ , \ 209,43 \right)$

Concluderend vertelt het berekende betrouwbaarheidsinterval ons dat bij een betrouwbaarheidsniveau van 95% het populatiegemiddelde tussen 190,82 en 209,43 zal liggen.

Über den Autor

Dr.benjamin anderson

Ik ben Benjamin, een gepensioneerde hoogleraar statistiek die nu een toegewijde Statorials-lesgever is. Ik heb uitgebreide ervaring en expertise op het gebied van statistiek en ik ben vastbesloten om mijn kennis te delen met studenten via Statorials. Lees verder

Wat is het betrouwbaarheidsinterval van het gemiddelde?

Betrouwbaarheidsintervalformule voor het gemiddelde

Voorbeeld van het berekenen van een betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde

Über den Autor

Dr.benjamin anderson

Einen Kommentar hinzufügen