Binomiale experimenten: een uitleg + voorbeelden

Het begrijpen van binomiale experimenten is de eerste stap naar het begrijpen van de binominale verdeling .

Deze tutorial definieert een binomiaal experiment en biedt verschillende voorbeelden van experimenten die wel of niet als binomiale experimenten worden beschouwd.

Binomiaal experiment: definitie

Een binomiaal experiment is een experiment dat de volgende vier eigenschappen heeft:

1. Het experiment bestaat uit n herhaalde pogingen. Het getal n kan elk bedrag zijn. Als we bijvoorbeeld een munt 100 keer opgooien, dan is n = 100.

2. Elke proef heeft slechts twee mogelijke uitkomsten. We noemen de resultaten vaak een ‘succes’ of een ‘mislukking’, maar een ‘succes’ is slechts een etiket voor iets waarop we rekenen. Als we bijvoorbeeld een munt opgooien, kunnen we een kop een ‘hit’ noemen en een munt een ‘mislukking’.

3. De kans op succes, aangeduid met p , is voor elke poging hetzelfde. Wil een experiment een echt binomiaal experiment zijn, dan moet de kans op ‘succes’ voor elke poging hetzelfde zijn. Als we bijvoorbeeld een munt opgooien, is de kans op kop („succes“) altijd hetzelfde, elke keer dat we een munt opgooien.

4. Elke test is onafhankelijk . Dit betekent eenvoudigweg dat de uitkomst van het ene onderzoek geen invloed heeft op de uitkomst van een ander onderzoek. Stel bijvoorbeeld dat we een munt opgooien en deze komt met kop omhoog. Het feit dat de bal op kop terechtkomt, verandert niets aan de kans dat de bal bij de volgende worp op kop terechtkomt. Elke flip (dat wil zeggen elke “proef”) is onafhankelijk.

Voorbeelden van binomiale experimenten

De volgende experimenten zijn allemaal voorbeelden van binomiale experimenten.

voorbeeld 1

Gooi een munt 10 keer op. Noteer het aantal keren dat de staart landt.

Dit is een binomiaal experiment omdat het de volgende vier eigenschappen heeft:

• Het experiment bestaat uit n herhaalde pogingen. In dit geval zijn er 10 pogingen.
• Elke proef heeft slechts twee mogelijke uitkomsten. De munt kan alleen op kop of munt landen.
• De kans op succes is voor elke poging hetzelfde . Als we ‘succes’ definiëren als op je hoofd landen, dan is de kans op succes voor elke poging precies 0,5.
• Elke test is onafhankelijk . Het resultaat van één trekking heeft geen invloed op het resultaat van een andere trekking.

Voorbeeld #2

Gooi 20 keer een eerlijke zeszijdige dobbelsteen. Noteer het aantal keren dat een 2 verschijnt.

Dit is een binomiaal experiment omdat het de volgende vier eigenschappen heeft:

• Het experiment bestaat uit n herhaalde pogingen. In dit geval zijn er 20 proeven.
• Elke proef heeft slechts twee mogelijke uitkomsten. Als we een 2 als ‘succes’ definiëren, dan landt de dobbelsteen elke keer op een 2 (een succes) of een ander getal (een mislukking).
• De kans op succes is voor elke poging hetzelfde . Voor elke poging is de kans dat de dobbelsteen op een 2 valt 1/6. Deze waarschijnlijkheid verandert niet van de ene proef tot de andere.
• Elke test is onafhankelijk . Het resultaat van een dobbelsteenworp heeft geen invloed op het resultaat van andere dobbelsteenworpen.

Voorbeeld #3

Tyler maakt 70% van zijn vrije worppogingen. Stel dat hij 15 pogingen doet. Noteer het aantal manden dat hij maakt.

Dit is een binomiaal experiment omdat het de volgende vier eigenschappen heeft:

• Het experiment bestaat uit n herhaalde pogingen. In dit geval zijn er 15 proeven.
• Elke proef heeft slechts twee mogelijke uitkomsten. Bij elke poging maakt Tyler de basket of mist hij deze.
• De kans op succes is voor elke poging hetzelfde . Voor elke poging is de kans dat Tyler de basket haalt 70%. Deze waarschijnlijkheid verandert niet van de ene proef tot de andere.
• Elke test is onafhankelijk . Het resultaat van een vrije worppoging heeft geen invloed op het resultaat van enige andere vrije worppoging.

Voorbeelden die geen binomiale experimenten zijn

voorbeeld 1

Vraag 100 mensen hoe oud ze zijn .

Dit is geen binomiaal experiment, omdat er meer dan twee mogelijke uitkomsten zijn.

Voorbeeld #2

Gooi een eerlijke zeszijdige dobbelsteen totdat er een 5 verschijnt.

Dit is geen binomiaal experiment omdat er geen vooraf gedefinieerd aantal n pogingen is. We hebben geen idee hoeveel rollen het duurt voordat er een 5 verschijnt.

Voorbeeld #3

Trek 5 kaarten uit een stapel kaarten.

Dit is geen binomiaal experiment omdat de uitkomst van één poging (bijvoorbeeld het trekken van een bepaalde kaart uit de stapel) de uitkomst van daaropvolgende pogingen beïnvloedt.

Een voorbeeld en oplossing van een binomiaal experiment

Het volgende voorbeeld laat zien hoe u een vraag met betrekking tot een binomiaal experiment kunt oplossen.

Je gooit een munt 10 keer op. Wat is de kans dat de munt precies 7 kop oplevert?

Wanneer we de waarschijnlijkheid van n successen in een binomiaal experiment willen vinden, moeten we de volgende formule gebruiken:

P(precies k successen) = _n C _k * p ^k * (1-p) ^nk

Goud:

• n: het aantal pogingen
• k: het aantal successen
• C: het “combinatie”-symbool
• p: kans op succes bij een bepaalde proef

Door deze getallen in de formule in te voegen, verkrijgen we:

P(7 koppen) = ₁₀ C ₇ * 0,5 ⁷ * (1-0,5) ^10-7 = (120) * (0,0078125) * (0,125) = 0,11719 .

De kans dat de munt 7 keer kop is, is dus 0,11719 .