De vorm van een binominale verdeling begrijpen

De binomiale verdeling beschrijft de waarschijnlijkheid van het behalen van k successen in n binomiale experimenten.

Als een willekeurige variabele X een binominale verdeling volgt, kan de kans dat X = k succes wordt gevonden met de volgende formule:

P(X=k) = _n C _k * p ^k * (1-p) ^nk

Goud:

• n: aantal pogingen
• k: aantal successen
• p: kans op succes bij een bepaalde proef
• _n C _k : het aantal manieren om k successen te behalen in n pogingen

De binomiale kansverdeling heeft de neiging klokvormig te zijn wanneer een of meer van de volgende twee omstandigheden zich voordoen:

1. De steekproefomvang (n) is groot.

2. De kans op succes voor een bepaalde proef (p) ligt dicht bij 0,5.

De binomiale waarschijnlijkheidsverdeling heeft echter de neiging scheef te zijn wanneer geen van deze omstandigheden zich voordoet. Om dit te illustreren, overweeg de volgende voorbeelden:

Voorbeeld 1: De steekproefomvang (n) is groot

De volgende grafiek toont de kansverdeling wanneer n = 200 en p = 0,5 .

Op de x-as wordt het aantal successen over 200 pogingen weergegeven en op de y-as de waarschijnlijkheid dat dat aantal successen optreedt.

Omdat (1) de steekproefomvang groot is en (2) de kans op succes voor een bepaalde proef dichtbij de 0,5 ligt, is de kansverdeling klokvormig.

Zelfs als de kans op succes voor een bepaalde proef (p) niet dicht bij 0,5 ligt, zal de kansverdeling klokvormig blijven zolang de steekproefomvang (n) groot is. Om dit te illustreren, beschouwen we de volgende twee scenario’s waarbij p = 0,2 en p = 0,8.

Merk op hoe de kansverdeling in beide scenario’s klokvormig is.

Voorbeeld 2: de kans op succes (p) ligt dicht bij 0,5

De volgende grafiek toont de kansverdeling wanneer n = 10 en p = 0,4 .

Hoewel de steekproefomvang (n = 10) klein is, blijft de kansverdeling klokvormig omdat de kans op succes voor een bepaalde proef (p = 0,4) bijna 0,5 bedraagt.

Voorbeeld 3: Scheve binominale verdelingen

Wanneer noch (1) de steekproefomvang groot is, noch (2) de kans op succes van een bepaalde proef dichtbij de 0,5 ligt, zal de binomiale kansverdeling scheef naar links of rechts zijn.

De volgende grafiek toont bijvoorbeeld de kansverdeling wanneer n = 20 en p = 0,1 .

Merk op hoe de verdeling naar rechts scheef is.

En de volgende grafiek toont de kansverdeling wanneer n = 20 en p = 0,9 .

Merk op hoe de verdeling naar links scheef is.

Eindnoten

Elk van de grafieken in dit artikel is gemaakt met behulp van de statistische programmeertaal R. Leer met behulp van deze tutorial hoe u uw eigen binominale kansverdelingen in R kunt plotten.