Contraststatistieken

Von Dr.benjamin anderson August 3, 2023 Statistieken Keine Kommentare

Dit artikel legt uit wat een contraststatistiek is, wat de meest voorkomende formules zijn voor contraststatistieken, en meer, de relatie tussen contraststatistiek, afwijzingsgebied en acceptatiegebied.

Wat is de contraststatistiek?

De contraststatistiek is een variabele met een bekende waarschijnlijkheidsverdeling die verband houdt met de onderzoekshypothese. Concreet wordt de contraststatistiek gebruikt bij het testen van hypothesen om de nulhypothese te verwerpen of te accepteren.

In feite is de beslissing om de nulhypothese van een hypothesetest al dan niet te verwerpen gebaseerd op de waarde van de teststatistiek. Als de waarde van de teststatistiek in het afwijzingsgebied valt, wordt de nulhypothese verworpen. terwijl als de waarde van de teststatistiek binnen het acceptatiegebied valt, de nulhypothese wordt geaccepteerd.

➤ Zie: Hypothesetesten (statistieken)

Contraststatistiekformules

Afhankelijk van het type hypothesetest is de verdeling van de teststatistiek verschillend. De formule voor de toetsingsstatistiek hangt dus ook af van het type hypothesetoetsing. Vervolgens zullen we zien hoe de teststatistiek wordt berekend, afhankelijk van het type hypothesetest.

Contraststatistiek voor gemiddelde

De formule voor de hypotheseteststatistiek voor het gemiddelde met bekende variantie is:

$\displaystyle Z=\frac{\overline{x}-\mu}{\displaystyle \frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$

Goud:

$Z$

is de hypotheseteststatistiek voor het gemiddelde.
$\overline{x}$

is het steekproefgemiddelde.
$\mu$

is de gemiddelde voorgestelde waarde.
$\sigma$

is de standaarddeviatie van de populatie.
$n$

is de steekproefomvang.

Zodra de hypothesecontraststatistiek voor het gemiddelde is berekend, moet het resultaat worden geïnterpreteerd om de nulhypothese te verwerpen of te verwerpen:

Als de hypothesetest voor het gemiddelde tweezijdig is, wordt de nulhypothese verworpen als de absolute waarde van de statistiek groter is dan de kritische waarde Z _α/2 .
Als de hypothesetest voor het gemiddelde overeenkomt met de rechterstaart, wordt de nulhypothese verworpen als de statistiek groter is dan de kritische waarde Z _α .
Als de hypothesetest voor het gemiddelde overeenkomt met de linkerstaart, wordt de nulhypothese verworpen als de statistiek kleiner is dan de kritische waarde -Z _α .

$\begin{array}{l}H_1: \mu\neq \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } |Z|>Z_{\alpha/2} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu> \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z>Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu< \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z<-Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\end{array}$

In dit geval worden de kritische waarden verkregen uit de gestandaardiseerde normale verdelingstabel.

Aan de andere kant is de formule voor de hypotheseteststatistiek voor het gemiddelde met onbekende variantie :

$\displaystyle t=\frac{\overline{x}-\mu}{\displaystyle \frac{s}{\sqrt{n}}}$

Goud:

$t$

is de hypotheseteststatistiek voor het gemiddelde, dat wordt gedefinieerd door de Student’s t-verdeling.
$\overline{x}$

is het steekproefgemiddelde.
$\mu$

is de gemiddelde voorgestelde waarde.
$s$

is de standaardafwijking van het monster.
$n$

is de steekproefomvang.

Net als voorheen moet het berekende resultaat van de contraststatistiek worden geïnterpreteerd met de kritische waarde om de nulhypothese al dan niet te verwerpen:

Als de hypothesetest voor het gemiddelde tweezijdig is, wordt de nulhypothese verworpen als de absolute waarde van de statistiek groter is dan de kritische waarde t _α/2|n-1 .
Als de hypothesetest voor het gemiddelde overeenkomt met de rechterstaart, wordt de nulhypothese verworpen als de statistiek groter is dan de kritische waarde t _α|n-1 .
Als de hypothesetest voor het gemiddelde overeenkomt met de linkerstaart, wordt de nulhypothese verworpen als de statistiek kleiner is dan de kritische waarde -t _α|n-1 .

$\begin{array}{l}H_1: \mu\neq \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } |t|>t_{\alpha/2|n-1} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu> \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } t>t_{\alpha|n-1} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu< \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } t<-t_{\alpha|n-1} \text{ se rechaza } H_0\end{array}$

Wanneer de variantie onbekend is, worden de kritische testwaarden verkregen uit de verdelingstabel van de student.

➤ Zie: Hypothesetesten voor het gemiddelde

Contraststatistiek voor proportie

De formule voor de hypotheseteststatistiek voor proportie is:

$\displaystyle Z=\frac{\widehat{p}-p}{\displaystyle\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}$

Goud:

$Z$

is de hypotheseteststatistiek voor de proportie.
$\widehat{p}$

is de steekproefaandeel.
$p$

is de voorgestelde proportionele waarde.
$n$

is de steekproefomvang.
$\displaystyle\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$

is de standaardafwijking van de verhouding.

Houd er rekening mee dat het niet voldoende is om de hypotheseteststatistiek voor het aandeel te berekenen, maar dat het resultaat vervolgens moet worden geïnterpreteerd:

Als de hypothesetest voor de proportie tweezijdig is, wordt de nulhypothese verworpen als de absolute waarde van de statistiek groter is dan de kritische waarde Z _α/2 .
Als de hypothesetest voor de verhouding overeenkomt met de rechterstaart, wordt de nulhypothese verworpen als de statistiek groter is dan de kritische waarde Z _α .
Als de hypothesetest voor het aandeel overeenkomt met de linkerstaart, wordt de nulhypothese verworpen als de statistiek kleiner is dan de kritische waarde -Z _α .

$\begin{array}{l}H_1: p\neq p_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } |Z|>Z_{\alpha/2} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: p> p_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z>Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: p< p_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z<-Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\end{array}$

Houd er rekening mee dat kritische waarden eenvoudig kunnen worden verkregen uit de standaardnormaalverdelingstabel.

➤ Zie: Hypothesetesten voor proportie

Contraststatistiek voor variantie

De formule voor het berekenen van de hypotheseteststatistiek voor variantie is:

$\chi^2=\cfrac{(n-1)s^2}{\sigma^2}$

Goud:

$\chi^2$

is de hypotheseteststatistiek voor variantie, die een chikwadraatverdeling heeft.
$n$

is de steekproefomvang.
$s^2$

is de steekproefvariantie.
$\sigma^2$

is de variantie van de voorgestelde populatie.

Om het resultaat van de statistiek te interpreteren, moet de verkregen waarde worden vergeleken met de kritische waarde van de test.

Als de variantietest van de hypothese tweezijdig is, wordt de nulhypothese verworpen als de statistiek groter is dan de kritische waarde.
$\chi_{1-\alpha/2|n-1}^2$

of als de kritische waarde kleiner is dan

$\chi_{\alpha/2|n-1}$

.
Als de hypothesetest voor de variantie overeenkomt met de rechterstaart, wordt de nulhypothese verworpen als de statistiek groter is dan de kritische waarde
$\chi_{1-\alpha|n-1}^2$

.
Als de hypothesetest voor variantie overeenkomt met de linkerstaart, wordt de nulhypothese verworpen als de statistiek kleiner is dan de kritische waarde
$\chi_{\alpha|n-1}$

.

$\begin{array}{l}H_1: \sigma^2\neq \sigma_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } \chi^2>\chi^2_{1-\alpha/2|n-1}\text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \sigma^2\neq \sigma_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si }\chi^2<\chi^2_{\alpha/2|n-1}\text{ se rechaza } H_0 \\[3ex]H_1: \sigma^2> \sigma_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } \chi^2>\chi^2_{1-\alpha|n-1}\text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \sigma^2< \sigma_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } \chi^2<\chi^2_{\alpha|n-1}\text{ se rechaza } H_0\end{array}$

De kritische hypothesetestwaarden voor variantie worden verkregen uit de chikwadraatverdelingstabel. Merk op dat de vrijheidsgraden van de Chi-kwadraatverdeling de steekproefgrootte minus 1 zijn.

➤ Zie: Variantiehypothese testen

Contraststatistiek, afwijzingsgebied en acceptatiegebied

Bij een hypothesetest is het verwerpingsgebied het gebied van de grafiek van de verdeling van de teststatistiek dat de verwerping van de nulhypothese impliceert (en acceptatie van de alternatieve hypothese). Aan de andere kant is het acceptatiegebied het gebied van de verdelingsgrafiek van de teststatistiek dat acceptatie van de nulhypothese impliceert (en verwerping van de alternatieve hypothese).

De waarde van de contraststatistiek bepaalt dus de uitkomst van een hypothesetest op de volgende manier:

Als de teststatistiek binnen het afwijzingsgebied valt, wordt de nulhypothese verworpen en wordt de alternatieve hypothese geaccepteerd.
Als de teststatistiek binnen het acceptatiegebied valt, wordt de nulhypothese geaccepteerd en de alternatieve hypothese verworpen.

De waarden die het afwijzingsgebied scheiden van het acceptatiegebied worden kritische waarden genoemd. Daarom moeten we de kritische waarden berekenen om de grenzen van het afwijzingsgebied en het acceptatiegebied te kennen en dus te weten wanneer we de nulhypothese moeten verwerpen en wanneer we deze moeten accepteren.

➤ Zie: Kritieke waarde

Über den Autor

Dr.benjamin anderson

Ik ben Benjamin, een gepensioneerde hoogleraar statistiek die nu een toegewijde Statorials-lesgever is. Ik heb uitgebreide ervaring en expertise op het gebied van statistiek en ik ben vastbesloten om mijn kennis te delen met studenten via Statorials. Lees verder

Wat is de contraststatistiek?

Contraststatistiekformules

Contraststatistiek voor gemiddelde

Contraststatistiek voor proportie

Contraststatistiek voor variantie

Contraststatistiek, afwijzingsgebied en acceptatiegebied

Über den Autor

Dr.benjamin anderson

Einen Kommentar hinzufügen