Discrete kansverdeling

In dit artikel wordt uitgelegd wat discrete kansverdelingen in de statistiek zijn. U zult dus de betekenis van discrete kansverdeling vinden, voorbeelden van discrete kansverdelingen en wat de verschillende soorten discrete kansverdelingen zijn.

Wat is een discrete kansverdeling?

Een discrete kansverdeling is de verdeling die de kansen van een discrete willekeurige variabele definieert. Daarom kan een discrete kansverdeling slechts een eindig aantal waarden aannemen (meestal gehele getallen).

De binominale verdeling, de Poisson-verdeling en de hypergeometrische verdeling zijn bijvoorbeeld discrete waarschijnlijkheidsverdelingen.

In een discrete kansverdeling wordt elke waarde van de discrete variabele die (xi ₎ vertegenwoordigt geassocieerd met een waarschijnlijkheidswaarde ( _pi ) die varieert van 0 tot 1. De som van alle kansen in een discrete verdeling geeft dus het resultaat één .

Voorbeelden van discrete waarschijnlijkheidsverdelingen

Nu we de definitie van een discrete kansverdeling kennen, zullen we verschillende voorbeelden van dit type verdeling zien om het concept beter te begrijpen.

Voorbeelden van discrete kansverdelingen:

1. Het aantal keren dat het getal 5 wordt verkregen door 30 keer met een dobbelsteen te gooien.
2. Het aantal gebruikers dat een webpagina per dag bezoekt.
3. Het aantal studenten dat geslaagd is voor een examen op een totaal van 50 studenten.
4. Het aantal defecte eenheden in een steekproef van 100 producten.
5. Het aantal keren dat iemand het rijexamen moet afleggen om te slagen.

Soorten discrete kansverdelingen

De belangrijkste soorten discrete kansverdelingen zijn:

• Discrete uniforme distributie
• Bernoulli-distributie
• Binomiale verdeling
• Vis distributie
• Multinomiale distributie
• Geometrische distributie
• Negatieve binominale verdeling
• Hypergeometrische distributie

Elk type discrete kansverdeling wordt hieronder in detail uitgelegd.

Discrete uniforme distributie

Discrete uniforme verdeling is een discrete kansverdeling waarin alle waarden gelijkwaardig zijn, dat wil zeggen dat in een discrete uniforme verdeling alle waarden dezelfde waarschijnlijkheid hebben om te voorkomen.

De worp van een dobbelsteen kan bijvoorbeeld worden gedefinieerd met een discrete uniforme verdeling, aangezien alle mogelijke uitkomsten (1, 2, 3, 4, 5 of 6) dezelfde waarschijnlijkheid van voorkomen hebben.

Over het algemeen heeft een discrete uniforme verdeling twee karakteristieke parameters, a en b , die het bereik van mogelijke waarden definiëren die de verdeling kan aannemen. Wanneer een variabele dus wordt gedefinieerd door een discrete uniforme verdeling, wordt deze geschreven Uniform(a,b) .

De discrete uniforme verdeling kan worden gebruikt om willekeurige experimenten te beschrijven, want als alle uitkomsten dezelfde waarschijnlijkheid hebben, betekent dit dat het experiment willekeurig is.

Bernoulli-distributie

De Bernoulli-verdeling , ook bekend als de dichotome verdeling , is een kansverdeling die een discrete variabele vertegenwoordigt die slechts twee uitkomsten kan hebben: „succes“ of „mislukking“.

In de Bernoulli-verdeling is ’succes‘ de uitkomst die we verwachten en heeft deze de waarde 1, terwijl de uitkomst van ‚mislukking‘ een andere uitkomst is dan de verwachte en de waarde 0 heeft. Dus als de waarschijnlijkheid van de uitkomst ‚ succes” is p , de waarschijnlijkheid van de uitkomst van “mislukking” is q=1-p .

De Bernoulli-verdeling is vernoemd naar de Zwitserse statisticus Jacob Bernoulli.

In de statistiek heeft de Bernoulli-verdeling hoofdzakelijk één toepassing: het definiëren van de waarschijnlijkheden van experimenten waarbij er slechts twee mogelijke uitkomsten zijn: succes en mislukking. Een experiment dat de Bernoulli-verdeling gebruikt, wordt dus een Bernoulli-test of Bernoulli-experiment genoemd.

Binomiale verdeling

De binomiale verdeling , ook wel de binomiale verdeling genoemd, is een kansverdeling die het aantal successen telt bij het uitvoeren van een reeks onafhankelijke, dichotome experimenten met een constante kans op succes. Met andere woorden: de binomiale verdeling is een verdeling die het aantal succesvolle uitkomsten van een reeks Bernoulli-proeven beschrijft.

Het aantal keren dat een muntstuk 25 keer kop is, is bijvoorbeeld een binominale verdeling.

Over het algemeen wordt het totale aantal uitgevoerde experimenten gedefinieerd met de parameter n , terwijl p de kans op succes van elk experiment is. Een willekeurige variabele die een binominale verdeling volgt, wordt dus als volgt geschreven:

Merk op dat in een binominale verdeling exact hetzelfde experiment n keer wordt herhaald en dat de experimenten onafhankelijk van elkaar zijn, dus de kans op succes van elk experiment is hetzelfde (p) .

Vis distributie

De Poisson-verdeling is een waarschijnlijkheidsverdeling die de waarschijnlijkheid definieert dat een bepaald aantal gebeurtenissen gedurende een bepaalde periode plaatsvindt. Met andere woorden: de Poisson-verdeling wordt gebruikt om willekeurige variabelen te modelleren die het aantal keren beschrijven dat een fenomeen zich binnen een tijdsinterval herhaalt.

Het aantal oproepen dat een telefooncentrale per minuut ontvangt, is bijvoorbeeld een discrete willekeurige variabele die kan worden gedefinieerd met behulp van de Poisson-verdeling.

De Poisson-verdeling heeft een karakteristieke parameter, weergegeven door de Griekse letter λ, en geeft aan hoe vaak de bestudeerde gebeurtenis naar verwachting zal plaatsvinden tijdens een bepaald interval.

Multinomiale distributie

De multinomiale verdeling (of multinomiale verdeling ) is een waarschijnlijkheidsverdeling die de waarschijnlijkheid beschrijft dat verschillende elkaar uitsluitende gebeurtenissen na verschillende pogingen een bepaald aantal keren voorkomen.

Dat wil zeggen, als een willekeurig experiment kan resulteren in drie of meer exclusieve gebeurtenissen en de waarschijnlijkheid dat elke gebeurtenis afzonderlijk plaatsvindt bekend is, wordt de multinomiale verdeling gebruikt om de waarschijnlijkheid te berekenen dat wanneer meerdere experimenten worden uitgevoerd, een bepaald aantal gebeurtenissen plaatsvindt. keer elke keer.

De multinomiale verdeling is daarom een generalisatie van de binominale verdeling.

Geometrische distributie

De geometrische verdeling is een waarschijnlijkheidsverdeling die het aantal Bernoulli-pogingen definieert dat nodig is om het eerste succesvolle resultaat te verkrijgen. Dat wil zeggen, een geometrische verdeling modelleert processen waarin Bernoulli-experimenten worden herhaald totdat een van hen een positief resultaat verkrijgt.

Het aantal auto’s dat een weg passeert totdat ze een gele auto zien, is bijvoorbeeld een geometrische verdeling.

Bedenk dat een Bernoulli-test een experiment is dat twee mogelijke uitkomsten heeft: ’succes‘ en ‚mislukking‘. Dus als de kans op ‘succes’ p is, is de kans op ‘mislukking’ q=1-p .

De geometrische verdeling hangt daarom af van de parameter p , de kans op succes van alle uitgevoerde experimenten. Bovendien is de waarschijnlijkheid p voor alle experimenten hetzelfde.

Negatieve binominale verdeling

De negatieve binomiale verdeling is een waarschijnlijkheidsverdeling die het aantal Bernoulli-proeven beschrijft dat nodig is om een bepaald aantal positieve resultaten te verkrijgen.

Daarom heeft een negatieve binomiale verdeling twee karakteristieke parameters: r is het aantal gewenste succesvolle uitkomsten en p is de kans op succes voor elk uitgevoerd Bernoulli-experiment.

Een negatieve binominale verdeling definieert dus een proces waarin zoveel Bernoulli-proeven worden uitgevoerd als nodig is om positieve resultaten te verkrijgen. Bovendien zijn al deze Bernoulli-proeven onafhankelijk en hebben ze een constante kans op succes .

Een willekeurige variabele die een negatieve binominale verdeling volgt, is bijvoorbeeld het aantal keren dat een dobbelsteen moet worden gegooid totdat het getal 6 drie keer wordt gegooid.

Hypergeometrische distributie

De hypergeometrische verdeling is een waarschijnlijkheidsverdeling die het aantal succesvolle gevallen beschrijft in een willekeurige extractie zonder vervanging van n elementen uit een populatie.

Dat wil zeggen dat de hypergeometrische verdeling wordt gebruikt om de waarschijnlijkheid te berekenen van het verkrijgen van x successen bij het extraheren van n elementen uit een populatie zonder een van deze te vervangen.

Daarom heeft de hypergeometrische verdeling drie parameters:

• N : is het aantal elementen in de populatie (N = 0, 1, 2,…).
• K : is het maximale aantal succesgevallen (K = 0, 1, 2,…,N). Omdat bij een hypergeometrische verdeling een element alleen als een „succes“ of een „mislukking“ kan worden beschouwd, is NK het maximale aantal faalgevallen.
• n : is het aantal niet-vervangingsophaalacties dat wordt uitgevoerd.

Discrete en continue kansverdeling

Ten slotte zullen we het verschil zien tussen een discrete kansverdeling en een continue kansverdeling, omdat het belangrijk is om te weten hoe je deze twee soorten verdelingen van elkaar kunt onderscheiden.

Het verschil tussen een discrete distributie en een continue distributie is het aantal waarden dat ze kunnen aannemen. Een continue verdeling kan elke waarde aannemen, aan de andere kant accepteert een discrete verdeling geen waarden, maar kan slechts een eindig aantal waarden aannemen.

Eén manier om continue distributies te onderscheiden van discrete distributies is door te bepalen welk type getallen ze kunnen bevatten. Normaal gesproken kan een continue verdeling elke waarde aannemen, inclusief decimale getallen, terwijl discrete verdelingen alleen gehele getallen kunnen aannemen. Houd er rekening mee dat deze tip niet in alle gevallen werkt, maar in de overgrote meerderheid van de gevallen.