4 echte voorbeelden van exponentiële distributie

De exponentiële verdeling is een waarschijnlijkheidsverdeling die wordt gebruikt om de tijd te modelleren die we moeten wachten totdat een bepaalde gebeurtenis plaatsvindt.

Als een willekeurige variabele X een exponentiële verdeling volgt, kan de cumulatieve dichtheidsfunctie van X worden geschreven:

F (x; λ) = 1 – e ^-λx

Goud:

• λ: de snelheidsparameter (berekend als λ = 1/μ)
• e: Een constante die ongeveer gelijk is aan 2,718

In dit artikel delen we 5 voorbeelden van exponentiële distributie in het echte leven.

Voorbeeld 1: Tijd tussen geiseruitbarstingen

Het aantal minuten tussen uitbarstingen van een bepaalde geiser kan worden gemodelleerd door de exponentiële verdeling.

Stel bijvoorbeeld dat het gemiddelde aantal minuten tussen uitbarstingen van een bepaalde geiser 40 minuten bedraagt. Als een geiser uitbarst, wat is dan de kans dat we minder dan 50 minuten moeten wachten op de volgende uitbarsting?

Om dit probleem op te lossen, moeten we eerst de tariefparameter berekenen:

• λ = 1/μ
• λ = 1/40
• λ = 0,025

We kunnen λ = 0,025 en x = 50 in de CDF-formule pluggen:

• P(X ≤ x) = 1 – e ^-λx
• P(X ≤ 50) = 1 – e ^-0,025(50)
• P(X ≤ 50) = 0,7135

De kans dat we minder dan 50 minuten zullen moeten wachten op de volgende uitbarsting is 0,7135 .

Voorbeeld 2: Tijd tussen klanten

Het aantal minuten tussen klanten die een bepaalde winkel binnenkomen, kan worden gemodelleerd door de exponentiële verdeling.

Laten we bijvoorbeeld zeggen dat er gemiddeld elke twee minuten een nieuwe klant een winkel binnenkomt. Nadat een klant arriveert, bepaalt u de kans dat er binnen een minuut een nieuwe klant arriveert.

Om dit op te lossen, kunnen we beginnen met te weten dat de gemiddelde tijd tussen cliënten twee minuten bedraagt. Het tarief kan dus als volgt worden berekend:

• λ = 1/μ
• λ = 1/2
• λ = 0,5

We kunnen λ = 0,5 en x = 1 in de CDF-formule pluggen:

• P(X ≤ x) = 1 – e ^-λx
• P(X ≤ 1) = 1 – e ^-0,5(1)
• P(X ≤ 1) = 0,3935

De kans dat we minder dan een minuut moeten wachten op de volgende klant is 0,3935 .

Voorbeeld 3: Tijd tussen aardbevingen  

De tijd tussen aardbevingen kan worden gemodelleerd met behulp van een exponentiële verdeling.

Stel bijvoorbeeld dat er in een bepaalde regio gemiddeld elke 400 dagen een aardbeving plaatsvindt. Bepaal na een aardbeving de kans dat het meer dan 500 dagen duurt voordat de volgende aardbeving plaatsvindt.

Om dit probleem op te lossen, beginnen we met de wetenschap dat de gemiddelde tijd tussen aardbevingen 400 dagen bedraagt. Het tarief kan dus als volgt worden berekend:

• λ = 1/μ
• λ = 1/400
• λ = 0,0025

We kunnen λ = 0,0025 en x = 500 in de CDF-formule pluggen:

• P(X ≤ x) = 1 – e ^-λx
• P(X ≤ 1) = 1 – e ^-0,0025(500)
• P(X ≤ 1) = 0,7135

De kans dat we minder dan 500 dagen zullen moeten wachten op de volgende aardbeving is 0,7135.

De kans dat we meer dan 500 dagen moeten wachten op de volgende aardbeving is dus 1 – 0,7135 = 0,2865 .

Voorbeeld 4: tijd tussen oproepen

De tijd tussen klantgesprekken bij verschillende bedrijven kan worden gemodelleerd met behulp van een exponentiële verdeling.

Stel bijvoorbeeld dat een bank gemiddeld elke 10 minuten een nieuwe oproep ontvangt. Nadat een klant belt, bepaal je de kans dat een nieuwe klant binnen 10 tot 15 minuten belt.

Om dit op te lossen, beginnen we met te weten dat de gemiddelde tijd tussen oproepen 10 minuten bedraagt. Het tarief kan dus als volgt worden berekend:

• λ = 1/μ
• λ = 1/10
• λ = 0,1

Om de kans te berekenen dat een nieuwe klant binnen 10-15 minuten belt, kunnen we de volgende formule gebruiken:

• P(10 < X ≤ 15) = (1 – e ^-0,1(15) ) – (1 – e ^-0,1(10) )
• P(10 < X ≤ 15) = 0,7769 – 0,6321
• P(10 < X ≤ 15) = 0,1448

De kans dat een nieuwe klant binnen 10-15 minuten belt. bedraagt 0,1448 .

Aanvullende bronnen

De volgende artikelen geven voorbeelden van hoe andere kansverdelingen in de echte wereld worden gebruikt:

6 concrete voorbeelden van de normale verdeling
5 concrete voorbeelden van de binominale verdeling
5 concrete voorbeelden van de Poisson-verdeling
5 concrete voorbeelden van geometrische distributie
5 concrete voorbeelden van uniforme distributie