Fisher z-transformatie: definitie en voorbeeld

De Fisher Z-transformatie is een formule die we kunnen gebruiken om de Pearson-correlatiecoëfficiënt (r) om te zetten in een waarde ( _zr ) die kan worden gebruikt om een betrouwbaarheidsinterval voor de Pearson-correlatiecoëfficiënt te berekenen.

De formule is als volgt:

z _r = ln((1+r) / (1-r)) / 2

Als de Pearson-correlatiecoëfficiënt tussen twee variabelen bijvoorbeeld r = 0,55 blijkt te zijn, dan berekenen we _zr als:

• z _r = ln((1+r) / (1-r)) / 2
• z _r = ln((1+.55) / (1-.55)) / 2
• _zr = 0,618

Het blijkt dat de steekproefverdeling van deze getransformeerde variabele een normale verdeling volgt.

Dit is belangrijk omdat we hiermee een betrouwbaarheidsinterval voor een Pearson-correlatiecoëfficiënt kunnen berekenen.

Zonder deze Fisher Z-transformatie uit te voeren, zouden we geen betrouwbaar betrouwbaarheidsinterval voor de Pearson-correlatiecoëfficiënt kunnen berekenen.

Het volgende voorbeeld laat zien hoe u in de praktijk een betrouwbaarheidsinterval voor een Pearson-correlatiecoëfficiënt kunt berekenen.

Voorbeeld: Berekening van een betrouwbaarheidsinterval voor de correlatiecoëfficiënt

Stel dat we de correlatiecoëfficiënt willen schatten tussen de lengte en het gewicht van inwoners van een bepaalde provincie. We selecteren een willekeurige steekproef van 60 inwoners en vinden de volgende informatie:

• Steekproefomvang n = 60
• Correlatiecoëfficiënt tussen lengte en gewicht r = 0,56

Zo vindt u een betrouwbaarheidsinterval van 95% voor de populatiecorrelatiecoëfficiënt:

Stap 1: Voer de Fisher-transformatie uit.

Stel dat z _r = ln((1+r) / (1-r)) / 2 = ln((1+.56) / (1-.56)) / 2 = 0,6328

Stap 2: Zoek de boven- en ondergrenzen van het logboek.

Stel dat L = z _r – (z _1-α/2 /√ n-3 ) = 0,6328 – (1,96 /√ 60-3 ) = 0,373

Stel dat U = z _r + (z _1-α/2 /√ n-3 ) = 0,6328 + (1,96 /√ 60-3 ) = 0,892

Stap 3: Zoek het betrouwbaarheidsinterval.

Betrouwbaarheidsinterval = [(e ^2L -1)/(e ^2L +1), (e ^2U -1)/(e ^2U +1)]

Betrouwbaarheidsinterval = [(e ^2(.373) -1)/(e ^2(.373) +1), (e ^2(.892) -1)/(e ^2(.892) +1)] = [ .3568, .7126]

Opmerking: U kunt dit betrouwbaarheidsinterval ook vinden met behulp van het Betrouwbaarheidsinterval voor een correlatiecoëfficiëntcalculator .

Dit interval geeft ons een reeks waarden die waarschijnlijk de echte Pearson-correlatiecoëfficiënt tussen gewicht en populatieomvang met een hoog betrouwbaarheidsniveau bevatten.

Let op het belang van de Fisher Z-transformatie: dit was de eerste stap die we moesten uitvoeren voordat we daadwerkelijk het betrouwbaarheidsinterval konden berekenen.

Aanvullende bronnen

Inleiding tot de Pearson-correlatiecoëfficiënt
De vijf hypothesen van Pearson’s correlatie
Hoe u handmatig een Pearson-correlatiecoëfficiënt kunt berekenen