Gemiddelde, mediaan en modus

Von Dr.benjamin anderson August 5, 2023 Statistieken Keine Kommentare

In dit artikel wordt uitgelegd wat gemiddelde, mediaan en modus zijn. Je leert hoe je het gemiddelde, de mediaan en de modus kunt bepalen, waarvoor ze worden gebruikt en wat het verschil is tussen deze drie statistische maatstaven. Bovendien kunt u aan het einde het gemiddelde, de mediaan en de modus van elke statistische steekproef berekenen met de online rekenmachine.

Wat is het gemiddelde, de mediaan en de modus?

Het gemiddelde, de mediaan en de modus zijn statistische metingen van de centrale positie. Met andere woorden, het gemiddelde, de mediaan en de modus zijn waarden die helpen bij het definiëren van een statistische steekproef, in het bijzonder geven ze aan wat de centrale waarden zijn.

Het gemiddelde, de mediaan en de modus worden als volgt gedefinieerd:

Gemiddelde : is het gemiddelde van alle gegevens in de steekproef.
Mediaan : Dit is de middelste waarde van alle gegevens, gerangschikt van klein naar groot.
Modus : dit is de meest herhaalde waarde in de gegevensset.

Deze drie statistische maatstaven worden hieronder nader toegelicht.

Half

Om het gemiddelde te berekenen, telt u alle waarden bij elkaar op en deelt u deze door het totale aantal gegevens. De formule voor het gemiddelde is daarom als volgt:

$\displaystyle\overline{x}=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^N x_i}{N}$

👉 U kunt de onderstaande rekenmachine gebruiken om het gemiddelde, de mediaan en de modus van elke dataset te berekenen.

Het gemiddelde symbool is een horizontale band boven de letter x

$(\overline{x}).$

U kunt het steekproefgemiddelde ook onderscheiden van het populatiegemiddelde met het gemiddelde symbool: het gemiddelde van een steekproef wordt uitgedrukt met het symbool

$\overline{x}$

, terwijl het gemiddelde van een bevolking de Griekse letter gebruikt

$\mu.$

Het gemiddelde wordt ook wel het rekenkundig gemiddelde of gemiddelde genoemd. Bovendien is het gemiddelde van een statistische verdeling gelijk aan de wiskundige verwachting ervan.

Gemiddeld voorbeeld

Een leerling behaalde in een schooljaar de volgende cijfers: voor wiskunde een 9, voor taal een 7, voor geschiedenis een 6, voor economie een 8 en voor natuurkunde een 7,5. Wat is het gemiddelde van al je cijfers?

Om het rekenkundig gemiddelde te vinden, moeten we alle cijfers bij elkaar optellen en vervolgens delen door het totale aantal vakken in de cursus, dat is 5. Daarom passen we de formule voor het rekenkundig gemiddelde toe:

$\displaystyle\overline{x}=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^N x_i}{N}$

We vervangen de gegevens in de formule en berekenen het rekenkundig gemiddelde:

$\overline{x}=\cfrac{9+7+5+8+7,5}{5}=7,3$

Zoals u kunt zien, wordt in het rekenkundig gemiddelde aan elke waarde hetzelfde gewicht toegekend, dat wil zeggen dat elk stukje gegevens binnen het geheel hetzelfde gewicht heeft.

Mediaan

De mediaan is de middelste waarde van alle gegevens, gerangschikt van klein naar groot. Met andere woorden: de mediaan verdeelt de geordende dataset in twee gelijke delen.

De berekening van de mediaan hangt af van het feit of het totale aantal gegevens even of oneven is:

Als het totale aantal gegevens oneven is, is de mediaan de waarde die precies in het midden van de gegevens valt. Dat wil zeggen de waarde die zich op positie (n+1)/2 van de gesorteerde gegevens bevindt.

$Me=x_{\frac{n+1}{2}$

Als het totale aantal gegevenspunten even is, is de mediaan het gemiddelde van de twee gegevenspunten in het midden. Dat wil zeggen het rekenkundig gemiddelde van de waarden die gevonden worden op posities n/2 en n/2+1 van de geordende data.

$Me=\cfrac{x_{\frac{n}{2}}+x_{\frac{n}{2}+1}}{2}$

Goud

$n$

is het totale aantal gegevensitems in de steekproef.

De term Ik wordt vaak gebruikt als symbool om aan te geven dat een waarde de mediaan is van alle waarnemingen.

👉 U kunt de onderstaande rekenmachine gebruiken om het gemiddelde, de mediaan en de modus van elke dataset te berekenen.

Mediaan voorbeeld

Zoek de mediaan van de volgende gegevens: 3, 4, 1, 6, 7, 4, 8, 2, 8, 4, 5

Het eerste dat u moet doen voordat u berekeningen uitvoert, is het classificeren van de gegevens, dat wil zeggen dat we de getallen van klein naar groot plaatsen.

$1 \ 2 \ 3 \ 4 \ 4 \ 4 \ 5 \ 6 \ 7 \ 8 \ 8$

In dit geval hebben we 11 waarnemingen, dus het totale aantal gegevens is oneven. Daarom passen we de volgende formule toe om de positie van de mediaan te berekenen:

$\cfrac{n+1}{2}=\cfrac{11+1}{2}=6$

De mediaan zal daarom de gegevens zijn die zich op de zesde positie bevinden, wat in dit geval overeenkomt met de waarde 4.

$Me=x_6=4$

Mode

In de statistiek is de modus de waarde in de dataset die de hoogste absolute frequentie heeft, dat wil zeggen dat de modus de meest herhaalde waarde in een dataset is.

Om de modus van een statistische gegevensset te berekenen, telt u daarom eenvoudigweg het aantal keren dat elk gegevenselement in de steekproef voorkomt, en de meest herhaalde gegevens zullen de modus zijn.

Er kan ook worden gezegd dat de modus een statistische modus of modale waarde is. Op dezelfde manier, wanneer gegevens in intervallen worden gegroepeerd, is het meest herhaalde interval het modale interval of de modale klasse .

Over het algemeen wordt de term Mo gebruikt als symbool voor de statistische modus, de distributiemodus X is bijvoorbeeld Mo(X).

Er kunnen drie soorten modi worden onderscheiden op basis van het aantal meest herhaalde waarden:

Unimodale modus : er is slechts één waarde met het maximale aantal herhalingen. Bijvoorbeeld [1, 4, 2, 4, 5, 3].
Bimodale modus : het maximale aantal herhalingen vindt plaats bij twee verschillende waarden, en beide waarden worden hetzelfde aantal keren herhaald. Bijvoorbeeld [2, 6, 7, 2, 3, 6, 9].
Multimodale modus : Drie of meer waarden hebben hetzelfde maximale aantal herhalingen. Bijvoorbeeld [3, 3, 4, 1, 3, 4, 2, 1, 4, 5, 2, 1].

👉 U kunt de onderstaande rekenmachine gebruiken om het gemiddelde, de mediaan en de modus van elke dataset te berekenen.

mode voorbeeld

Wat is de modus van de volgende dataset?

$5 \ 4 \ 9 \ 7 \ 2 \ 3 \ 9 \ 6 \ 5 \ 2 \ 5$

De cijfers zijn niet in de juiste volgorde, dus het eerste wat we gaan doen is ze sorteren. Deze stap is niet verplicht, maar het zal je helpen gemakkelijker mode te vinden.

$2 \ 2 \ 3 \ 4 \ 5 \ 5 \ 5 \ 6 \ 7 \ 9 \ 9$

De nummers 2 en 9 verschijnen twee keer, maar het nummer 5 wordt drie keer herhaald. Daarom is de modus van de gegevensreeks nummer 5.

$Mo=5$

Opgeloste oefening van gemiddelde, mediaan en modus

Nu u weet wat het gemiddelde, de mediaan en de modus zijn, vindt u hieronder een uitgebreide oefening over deze statistische metingen, zodat u precies kunt zien hoe ze worden berekend.

Zoek het gemiddelde, de mediaan en de modus van de volgende statistische gegevensset:

$8 \ 7 \ 0 \ 6 \ 10 \ 9 \ 13 \ 8 \ 0 \ 6 \ 2 \ 6 \ 5 \ 11 \ 10$

$0 \ 9 \ 8 \ 6 \ 12 \ 3 \ 5 \ 11 \ 1 \ 4 \ 8 \ 10 \ 2 \ 5 \ 7$

Om het gemiddelde van de gegevens te vinden, moeten we alles bij elkaar optellen en vervolgens delen door het totale aantal gegevens, dat is 30:

$\displaystyle\overline{x}=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^N x_i}{N}=\frac{192}{30}=6,4$

Ten tweede gaan we kijken naar de steekproefmediaan. We zetten dus alle getallen in oplopende volgorde:

$0 \ 0 \ 0 \ 1 \ 2 \ 2 \ 3 \ 4 \ 5 \ 5 \ 5 \ 6 \ 6 \ 6 \ 6$

$7 \ 7 \ 8 \ 8 \ 8 \ 8 \ 9 \ 9 \ 10 \ 10 \ 10 \ 11 \ 11 \ 12 \ 13$

In dit geval is het totale aantal gegevens even, dus het is noodzakelijk om de twee centrale posities te berekenen waartussen de mediaan zal worden gevonden. Hiervoor gebruiken we de volgende twee formules:

$\cfrac{n}{2}=\cfrac{30}{2}=15$

$\cfrac{n}{2}+1=\cfrac{30}{2}+1=16$

De mediaan zal dus tussen de vijftiende en de zestiende positie liggen, wat respectievelijk overeenkomt met de waarden 6 en 7. Preciezer gezegd, de mediaan is gelijk aan het gemiddelde van deze waarden:

$Me=\cfrac{x_{15}+x_{16}}{2}=\cfrac{6+7}{2}=6,5$

Om de modus te vinden, hoeft u ten slotte alleen maar alle keren te tellen dat elk nummer verschijnt. Zoals je kunt zien, verschijnen nummer 6 en nummer 8 in totaal vier keer, wat het maximale aantal herhalingen is. Daarom is het in dit geval een bimodale modus en zijn de twee getallen de modus van de dataset:

$Mo=\{ 6 \ ; \ 8\}$