Hoe vind je de waarschijnlijkheid van minstens één? succes

Waarschijnlijkheid vertelt ons hoe waarschijnlijk een gebeurtenis zal plaatsvinden.

Stel bijvoorbeeld dat 4% van alle leerlingen op een bepaalde school wiskunde als favoriete vak prefereert. Als we willekeurig een leerling selecteren, is de kans dat hij of zij een voorkeur heeft voor wiskunde 4%.

Maar we zijn vaak geïnteresseerd in waarschijnlijkheden waarbij meerdere proeven betrokken zijn. Als we bijvoorbeeld willekeurig drie leerlingen selecteren, wat is dan de kans dat ten minste één van hen de voorkeur geeft aan wiskunde?

Om deze vraag te beantwoorden kunnen we de volgende stappen gebruiken:

1. Bereken de kans dat een leerling geen voorkeur heeft voor wiskunde.

We weten dat de kans dat een leerling de voorkeur geeft aan wiskunde P (geeft de voorkeur aan wiskunde) = 0,04.

De kans dat een leerling geen voorkeur heeft voor wiskunde is dus P(heeft geen voorkeur voor wiskunde) = 0,96.

2. Bereken de kans dat alle geselecteerde leerlingen geen voorkeur voor wiskunde hebben.

Omdat de waarschijnlijkheid dat elke leerling de voorkeur geeft aan wiskunde onafhankelijk van elkaar is, kunnen we de individuele kansen eenvoudigweg met elkaar vermenigvuldigen:

P(niet alle leerlingen geven de voorkeur aan wiskunde) = 0,96 * 0,96 * 0,96 = 0,8847.

Dit vertegenwoordigt de waarschijnlijkheid dat de drie studenten wiskunde niet als hun favoriete vak verkiezen.

3. Bereken de kans dat ten minste één leerling de voorkeur geeft aan wiskunde.

Ten slotte wordt de kans dat ten minste één leerling de voorkeur geeft aan wiskunde als volgt berekend:

P(minstens één geeft de voorkeur aan wiskunde) = 1 – P(niet iedereen geeft de voorkeur aan wiskunde) = 1 – .8847 = .1153 .

Het blijkt dat we de volgende algemene formule kunnen gebruiken om de waarschijnlijkheid van ten minste één succes in een reeks pogingen te bepalen:

 P(at least one success) = 1 - P(failure in one trial) n

In de bovenstaande formule vertegenwoordigt n het totale aantal pogingen.

We hadden bijvoorbeeld deze formule kunnen gebruiken om de waarschijnlijkheid te bepalen dat ten minste één leerling uit een willekeurige steekproef van drie de voorkeur geeft aan wiskunde als favoriete vak:

P (minstens één leerling geeft de voorkeur aan wiskunde) = 1 – (0,96) ³ = 0,1153 .

Dit komt overeen met het antwoord dat we kregen met behulp van het bovenstaande driestapsproces.

Gebruik de volgende voorbeelden als aanvullende oefening om de waarschijnlijkheid van “minstens één” succes te bepalen.

Gerelateerd: Hoe u de waarschijnlijkheid van “minstens twee” successen kunt bepalen

Voorbeeld 1: Vrije worppogingen

Mike maakt 20% van zijn vrije worppogingen. Als hij vijf vrije worpen probeert, bereken dan de kans dat hij er minstens één maakt.

Oplossing:

• P(maakt er minstens één) = 1 – P(mist een bepaalde poging) ⁿ
• P(maakt er minstens één) = 1 – (0,80) ⁵
• P(maakt er minstens één) = 0,672

De kans dat Mike uit elke vijf pogingen minimaal één vrije worp maakt, is 0,672 .

Voorbeeld 2: Widgets

In een bepaalde fabriek is 2% van alle widgets defect. Bepaal in een willekeurige steekproef van tien widgets de kans dat er minstens één defect is.

Oplossing:

• P (minstens één defect) = 1 – P (de gegeven widget is niet defect) ⁿ
• P(minstens één defect) = 1 – (0,98) ¹⁰
• P(minstens één defect) = 0,183

De kans dat ten minste één widget defect is in een willekeurige steekproef van 10 is 0,183 .

Voorbeeld 3: Trivia-vragen

Bob beantwoordt 75% van de trivia-vragen correct. Als we hem drie triviale vragen stellen, bepaal dan de kans dat hij er minstens één verkeerd beantwoordt.

Oplossing:

• P(minstens één fout) = 1 – P(het gegeven antwoord is juist) ⁿ
• P (minstens één fout) = 1 – (0,75) ³
• P (minstens één onjuist) = 0,578

De kans dat hij minstens één vraag verkeerd beantwoordt, is 0,578 .

Bonus: waarschijnlijkheidscalculator van “minstens één”

Gebruik deze rekenmachine om automatisch de waarschijnlijkheid van „minstens één“ succes te vinden, gebaseerd op de kans op succes in een bepaalde proef en het totale aantal pogingen.