Kwantielen

Hier leest u wat kwantielen zijn en hoe ze worden berekend. We leggen ook uit wat de soorten kwantielen zijn en u ziet opgeloste voorbeelden van kwantielberekeningen. Ten slotte kunt u elk kwantiel van uw gegevensmonster berekenen met een online rekenmachine.

Wat zijn kwantielen?

In de statistiek zijn kwantielen punten die een reeks geordende gegevens gelijkmatig verdelen. Een kwantiel geeft dus de waarde aan waaronder een percentage van de gegevens ligt.

Als de kwantielwaarde van de orde van 0,39 bijvoorbeeld 24 is, betekent dit dat 39% van de gegevens in de steekproef kleiner is dan 24 en de rest van de gegevens groter is dan 24.

Daarom worden kwantielen gebruikt om gegevens uit een verdeling in gelijke groepen te scheiden. Daarnaast worden ze ook gebruikt om het percentage gegevens boven of onder een bepaalde waarde aan te geven.

👉 U kunt de onderstaande rekenmachine gebruiken om kwantielen van elke dataset te berekenen.

Soorten kwantielen

De verschillende soorten kwantielen zijn:

• Kwartielen – Kwantielen die de dataset in vier gelijke delen verdelen. Er zijn dus drie kwartielen: het eerste kwartiel (Q ₁ ), het tweede kwartiel (Q ₂ ) en het derde kwartiel (Q ₃ ).
• Quintielen – Kwantielen die de dataset in vijf gelijke delen verdelen. In een steekproef kunnen er dus slechts vier kwintielen voorkomen. Dit type kwantielen wordt uitgedrukt door de letter K.
• Decielen : kwantielen die de dataset in tien gelijke delen verdelen. Het symbool voor decielen is de letter D.
• Percentielen – Kwantielen die de dataset in honderd gelijke delen verdelen. Percentielen geven ook een percentage van de steekproef aan. Ze worden genoemd met de letter P.

Een van de eigenschappen die de verschillende soorten kwantielen met elkaar in verband brengen, is dat de mediaan, het tweede kwartiel, het vijfde deciel en het 50e percentiel dezelfde waarde hebben.

Verder zijn er ook andere soorten kwantielen, maar deze worden minder gebruikt. Onder hen vallen terciles op, die een reeks gegevens in drie identieke delen verdelen, en burgerwachten, die de verzamelde gegevens in twintig gelijkwaardige delen verdelen.

Op dezelfde manier worden alle soorten kwantielen beschouwd als niet-centrale positiemetingen.

Hoe kwantielen te berekenen

Om de positie van een kwantiel van een statistische gegevensset te berekenen , moet u het kwantielgetal vermenigvuldigen met de som van het totale aantal gegevens plus één.

De kwantielformule is daarom:

Let op: deze formule vertelt ons de positie van het kwantiel, niet de waarde ervan. Het kwantiel bestaat uit de gegevens die zich bevinden op de positie die door de formule wordt verkregen.

Soms geeft het resultaat van deze formule ons echter een decimaal getal. We moeten daarom twee gevallen onderscheiden, afhankelijk van of het resultaat een decimaal getal is of niet:

• Als het resultaat van de formule een getal zonder decimaal deel is, zijn het kwantiel de gegevens die zich in de positie bevinden die door de bovenstaande formule wordt verstrekt.
• Als het resultaat van de formule een getal met een decimaal deel is, wordt de exacte kwantielwaarde berekend met behulp van de volgende formule:

Waar x _i en x _i+1 de getallen zijn van de posities waartussen het getal verkregen door de eerste formule zich bevindt, en d het decimale deel is van het getal verkregen door de eerste formule.

Als u denkt dat het berekenen van een kwantiel erg ingewikkeld is, hoeft u zich geen zorgen te maken. Lees de volgende voorbeelden en je zult zien dat het eigenlijk eenvoudig is.

Opmerking : in de wetenschappelijke gemeenschap bestaat er nog steeds geen consensus over hoe je kwantielen moet berekenen, dus je kunt een statistiekboek vinden waarin het iets anders wordt uitgelegd.

Kwantielberekeningsvoorbeelden

Gezien de definitie van een kwantiel en de theorie van de berekening ervan, vindt u hieronder een opgeloste oefening over de berekening van bepaalde kwantielen. Dit zal je helpen het concept beter te begrijpen.

• Bereken het kwantiel van orde 0,50 en het kwantiel van orde 0,81 van het volgende statistische monster.

De problematische gegevens zijn al in oplopende volgorde gesorteerd, dus u hoeft deze niet te wijzigen. Anders hadden de gegevens eerst op orde moeten worden gebracht.

Zoals hierboven uitgelegd, is de formule voor het vinden van de positie van een willekeurig kwantiel als volgt:

In dit geval is de steekproefomvang 49 waarnemingen, dus om het kwantiel van 0,50 te berekenen, moeten we de n vervangen door 49 en de p door 0,50:

Kwantiel 0,50 zal dus de waarde zijn die op de vijfentwintigste positie van de geordende lijst staat, wat overeenkomt met de waarde 250.

Nu passen we dezelfde formule opnieuw toe om het kwantiel van 0,81 te vinden. Logischerwijs moeten we in dit tweede voorbeeld p vervangen door 0,81.

Maar deze keer hebben we een decimaal getal verkregen uit de formule (40,5), wat betekent dat het kwantiel zich tussen positie 40 en positie 41 zal bevinden. Om dit kwantiel te bepalen, moeten we daarom de formule van de tweede methode gebruiken:

In dit geval zal het kwantiel tussen posities 40 en 41 liggen, waarvan de waarden respectievelijk 286 en 289 zijn. Bijgevolg is x _i 286 waard, is x _i+1 289 waard en is d het decimale deel van het verkregen getal, dat wil zeggen 0,5.

Zoals u kunt zien, hangt het berekenen van een kwantiel af van het feit of de eerste formule ons al dan niet een decimaal getal geeft. Als je meer voorbeelden wilt zien, kun je hier meer opgeloste oefeningen over de verschillende soorten kwantielen bekijken:

kwantiel rekenmachine

Voer een statistische gegevensset en het kwantielnummer dat u wilt berekenen in de onderstaande rekenmachine in. Getallen moeten worden gescheiden door een spatie en moeten worden ingevoerd met de punt als decimaal scheidingsteken.

Kwantielen in gegroepeerde gegevens

Om een kwantiel te berekenen wanneer gegevens in intervallen zijn gegroepeerd, moeten we eerst het interval of de bak vinden waarin het kwantiel valt met behulp van de volgende formule:

Het kwantiel zal zich daarom in het interval bevinden waarvan de geaccumuleerde absolute frequentie onmiddellijk groter is dan het getal verkregen in de vorige uitdrukking.

En als we eenmaal weten tot welk interval het kwantiel behoort, moeten we de volgende formule toepassen om de exacte waarde van het kwantiel te vinden:

Goud:

• _Li is de ondergrens van het interval waarin het kwantiel ligt.
• n is het totale aantal waarnemingen.
• Fi _-1 is de cumulatieve absolute frequentie van het vorige interval.
• _fi is de absolute frequentie van het interval waarin het kwantiel ligt.
• I _i is de breedte van het kwantielinterval.

Om u te laten zien hoe u dit kunt doen, volgt hier een concreet voorbeeld van het berekenen van kwantielen van de orde 0,29 en 0,62 voor gegroepeerde gegevens.

Om het kwantiel van 0,29 te berekenen, moeten we eerst het interval vinden waarin het ligt. Om dit te doen, gebruiken we de volgende formule:

Het kwantiel zal zich dus in het interval bevinden waarvan de cumulatieve absolute frequentie onmiddellijk groter is dan 145,29, wat in dit geval het interval [350,375) is waarvan de cumulatieve absolute frequentie 175 is. En zodra we het kwantielinterval kennen, gebruiken we de formule van de tweede methode:

Nu passen we dezelfde procedure opnieuw toe om het kwantiel 0,62 te krijgen. We berekenen eerst het interval waarbij het kwantiel is:

Het interval waarvan de cumulatieve absolute frequentie onmiddellijk groter is dan 310,62 is [425,450), met een cumulatieve absolute frequentie van 347. Daarom berekenen we de exacte kwantielwaarde met behulp van de tweede formule in het proces: