Kwintielen (statistieken)

In dit artikel leggen we uit wat kwintielen zijn en hoe ze worden berekend. U vindt verschillende opgeloste voorbeelden van het berekenen van kwintielen en bovendien kunt u de kwintielen van elke statistische steekproef berekenen met een online rekenmachine.

Wat zijn kwintielen?

In de statistieken zijn kwintielen vier waarden die een dataset in vijf gelijke delen verdelen. Het eerste, tweede, derde en vierde kwintielen vertegenwoordigen dus respectievelijk 20%, 40%, 60% en 80% van de steekproefgegevens.

Dat wil zeggen dat de waarde van het derde kwintiel bijvoorbeeld hoger is dan 60% van alle verzamelde gegevens, maar lager dan de rest van de gegevens.

Het symbool voor kwintielen is de hoofdletter K met de kwintielindex, dwz het eerste kwintiel is K ₁ , het tweede kwintiel is K ₂ , het derde kwintiel is K ₃ en het vierde kwintiel is K ₄ . Hoewel het ook kan worden weergegeven door de letter Q (niet aanbevolen omdat dit verwarring met kwartielen veroorzaakt).

👉 U kunt de onderstaande rekenmachine gebruiken om kwintielen voor elke dataset te berekenen.

Kwintielen zijn een maatstaf voor de niet-centrale positie, samen met kwartielen, decielen en percentielen. Als u meer geïnteresseerd bent, kunt u op onze website bekijken wat elk van deze kwantieltypen betekent.

Opgemerkt moet worden dat kwintiel mogelijk een andere definitie heeft. In de economie vertegenwoordigen kwintielen het percentage van een bevolking, gerangschikt op inkomen, of met andere woorden: ze rangschikken een bevolking op basis van inkomensniveau. Het eerste kwintiel komt bijvoorbeeld overeen met de armste 20% van de mensen in een bevolking, het tweede kwintiel komt overeen met de 40% van de bevolking met het laagste inkomen, enzovoort.

Hoe kwintielen te berekenen

Om de positie van de kwintielen van een steekproef of statistische populatie te berekenen , moet u het aantal kwintielen vermenigvuldigen met de som van het totale aantal gegevens plus één en het resultaat delen door vijf.

Daarom is de formule voor kwintielen :

Let op: het resultaat van deze formule vertelt ons de positie van het kwintiel, niet de waarde ervan. Het kwintiel zal daarom de gegevens zijn die zich bevinden op de positie die door de formule wordt verkregen.

Soms geeft het resultaat van deze formule ons echter een decimaal getal. We moeten daarom twee gevallen onderscheiden, afhankelijk van of het resultaat een decimaal getal is of niet:

• Als het resultaat van de formule een getal zonder decimaal deel is, zijn het kwintiel de gegevens die zich bevinden op de positie die wordt geboden door de bovenstaande formule.
• Als het resultaat van de formule een getal met een decimaal deel is, wordt de kwintielwaarde berekend met behulp van de volgende uitdrukking:

Waar x _i en x _i+1 de getallen zijn van de posities waartussen het getal verkregen door de eerste formule zich bevindt, en d het decimale deel is van het getal verkregen door de eerste formule.

Als je bang was toen je zoveel stappen zag om de kwintielen van een dataset te bepalen, maak je dan geen zorgen, het is eigenlijk heel eenvoudig. Lees de volgende twee voorbeelden en u zult het zeker veel beter begrijpen.

Opmerking : de statistische gemeenschap is het nog steeds niet helemaal eens over de manier waarop kwintielen worden berekend, dus wellicht vindt u een boek waarin dit iets anders wordt uitgelegd.

Voorbeelden van het berekenen van kwintielen

Hieronder laten we u twee stap voor stap opgeloste oefeningen over hoe u kwintielen uit een gegevensreeks kunt verkrijgen. Dus, zodat je de twee mogelijke gevallen kunt zien, zijn de resultaten in de eerste oefening niet decimaal en in de tweede oefening wel.

voorbeeld 1

• Bereken de kwintielen van de volgende gegevensreeksen:

Zoals je in de bovenstaande uitleg hebt gezien, is de formule om de positie van de kwintielen te vinden:

De parameter n verwijst naar het totale aantal gegevens, namelijk 49, dus om de positie van het eerste kwintiel te vinden moeten we de n vervangen door 49 en de k door 1:

Uit de formule hebben we het getal 10 verkregen, wat betekent dat het kwintiel op de tiende positie van de geordende lijst staat, wat overeenkomt met de gegevens 205.

Om het tweede kwintiel te berekenen, moet je dezelfde formule gebruiken, maar dan k vervangen door 2:

Het tweede kwintiel staat dus op positienummer 20 van de geordende lijst, dat wil zeggen de waarde 236.

Opnieuw herhalen we het proces om kwintiel 3 te bepalen, maar logischerwijs vervangen we nu de k door 3:

Het derde kwintiel bestaat dus uit de gegevens op positie 30, wat overeenkomt met 266.

Tenslotte passen we de formule opnieuw toe om het vierde kwintiel te berekenen:

Het vierde kwintiel staat dus op positie 40, dus het vierde kwintiel is 286.

Voorbeeld 2

• Bereken de vier kwintielen van de statistische gegevens verzameld in de volgende tabel:

Om de posities van de kwintielen te verkrijgen, moet u op dezelfde manier als in het vorige voorbeeld de volgende formule gebruiken:

In dit geval is de steekproefomvang 42 waarnemingen, dus om de positie van het eerste kwintiel te vinden moeten we de parameter n vervangen door 42 en de k door 1:

In tegenstelling tot het eerste voorbeeld geeft de formule ons deze keer echter een decimaal getal, dus moeten we de volgende formule toepassen om het exacte kwintiel te berekenen:

Het getal verkregen uit de eerste formule is 8,6, dus het eerste kwintiel ligt tussen de achtste en negende gegevens, die respectievelijk 78 en 79 zijn. Daarom is x _i gelijk aan 78, x _i+1 is 79 en d is het decimale deel van het verkregen getal, dat wil zeggen 0,6.

Nu doen we precies dezelfde procedure opnieuw om het tweede kwintiel te vinden. We berekenen eerst de positie:

Maar uit de formule verkrijgen we een decimaal getal tussen 17 en 18, zodat het tweede kwintiel tussen de zeventiende en achttiende positie zal liggen, waarvan de waarden respectievelijk overeenkomen met 109 en 112 van de geordende lijst. Daarom passen we de tweede formule toe in het proces om de exacte kwintielwaarde te bepalen:

We herhalen de methode om het derde kwintiel te verkrijgen, we bepalen eerst de positie ervan:

Het berekende getal 25,8 betekent dat de kwintielwaarde tussen de vijfentwintigste en zesentwintigste positie zal liggen, waarvan de waarden 134 en 141 zijn. De berekening van de exacte kwintielwaarde is daarom:

Ten slotte herhalen we dezelfde procedure nog een laatste keer om kwintiel 4 te berekenen. We vinden eerst de positie ervan:

De exacte waarde van het vierde kwintiel zal daarom tussen 34 en 35 liggen, waarvan de posities overeenkomen met gegevens 172 en 179. De berekening van het vierde kwintiel is daarom:

Quintiel rekenmachine

Voer een statistische gegevensset in de volgende rekenmachine in om kwintielen te berekenen. Gegevens moeten worden gescheiden door een spatie en moeten worden ingevoerd met de punt als decimaal scheidingsteken.

Kwintielen in gegroepeerde gegevens

Om kwintielen te berekenen wanneer gegevens in intervallen zijn gegroepeerd, moet u eerst het interval of de klasse ervan vinden met behulp van de volgende formule:

Het kwintiel zal zich daarom in het interval bevinden waarvan de absolute frequentie onmiddellijk groter is dan het getal verkregen met de vorige uitdrukking.

En zodra we weten tot welk interval het kwintiel behoort, moeten we de volgende formule toepassen om de exacte waarde van het kwintiel te vinden:

Goud:

• _Li is de ondergrens van het interval waarin het kwintiel zich bevindt.
• n is het totale aantal waarnemingen.
• Fi _-1 is de cumulatieve absolute frequentie van het vorige interval.
• f _i is de absolute frequentie van het interval waarin het kwintiel zich bevindt.
• I _i is de breedte van het kwintielinterval.

Om te zien hoe dit wordt gedaan, is hier een opgelost voorbeeld van het berekenen van de kwintielen van de volgende gegevensreeksen, gegroepeerd in intervallen:

Omdat de gegevens gegroepeerd zijn, moeten we de volgende methode gebruiken om kwintielen te berekenen: bepaal eerst het bereik waarbinnen het kwintiel valt en zoek vervolgens de exacte waarde van het kwintiel.

Om het interval te vinden waarin het eerste kwintiel zich bevindt, gebruiken we dus de volgende formule:

Het eerste kwintiel bevindt zich in het interval waarvan de cumulatieve absolute frequentie onmiddellijk groter is dan 30,2, in dit geval is het het interval [150.200) waarvan de cumulatieve absolute frequentie 42 is. En zodra we het kwintielinterval kennen, passen we de tweede formule van de proces om de exacte waarde ervan te bepalen:

Nu herhalen we dezelfde procedure om het tweede kwintiel te verkrijgen, waarbij we eerst het interval berekenen waarin dit ligt:

De cumulatieve absolute frequentie onmiddellijk boven 60,4 is 75, dus het tweede kwintielbereik is [200 250). Daarom vervangen we de overeenkomstige waarden in de tweede formule om de exacte kwintielwaarde te berekenen:

We doen dezelfde procedure een derde keer om kwintiel 3 te verkrijgen. We bepalen eerst het interval waar het kwintiel zich bevindt:

Het kwintiel ligt in het interval [250.300) omdat de cumulatieve absolute frequentie (102) direct boven 90,6 ligt. De berekening van de exacte waarde van het derde kwintiel gaat daarom als volgt:

Ten slotte vinden we het vierde kwintiel. Zoals altijd vinden we eerst het interval:

Het interval waarvan de absolute frequentie onmiddellijk groter is dan 120,8 is [300,350), waarvan de waarde 130 is. De exacte waarde van het vierde kwintiel zal daarom zijn: