Normale binominale benadering: definitie en voorbeeld

Als _ _ _ _ _

• µ = np
• σ = √ np(1-p)

Het blijkt dat als n groot genoeg is, we de normale verdeling kunnen gebruiken om de kansen gerelateerd aan de binomiale verdeling te benaderen. Dit wordt de normale binomiale benadering genoemd.

Om n “groot genoeg” te laten zijn, moet het aan de volgende criteria voldoen:

• np ≥ 5
• n(1-p) ≥ 5

Wanneer aan beide criteria wordt voldaan, kunnen we de normale verdeling gebruiken om waarschijnlijkheidsvragen met betrekking tot de binominale verdeling te beantwoorden.

De normale verdeling is echter een continue kansverdeling, terwijl de binominale verdeling een discrete kansverdeling is, dus we moeten continuïteitscorrectie toepassen bij het berekenen van kansen.

Simpel gezegd is een continuïteitscorrectie de naam die wordt gegeven aan het optellen of aftrekken van 0,5 van een discrete x-waarde.

Laten we bijvoorbeeld zeggen dat we de waarschijnlijkheid willen bepalen dat een munt in de loop van 100 worpen 45 keer op kop zal landen die minder dan of gelijk is aan 45 keer. Dat wil zeggen, we willen P(X ≤ 45) vinden. Om de normale verdeling te gebruiken om de binominale verdeling te benaderen, zouden we in plaats daarvan P(X ≤ 45,5) vinden.

De volgende tabel laat zien wanneer je 0,5 moet optellen of aftrekken, afhankelijk van het type waarschijnlijkheid dat je probeert te vinden:

Het volgende stapsgewijze voorbeeld laat zien hoe u de normale verdeling kunt gebruiken om de binomiale verdeling te benaderen.

Voorbeeld: normale benadering van de binominale waarde

Stel dat we de waarschijnlijkheid willen weten dat een munt bij 100 worpen minder dan of gelijk aan 43 keer op kop zal landen.

In deze situatie hebben we de volgende waarden:

• n (aantal pogingen) = 100
• X (aantal successen) = 43
• p (kans op succes bij een bepaalde proef) = 0,50

Om de waarschijnlijkheid te berekenen dat de munt op kop minder dan of gelijk aan 43 keer landt, kunnen we de volgende stappen gebruiken:

Stap 1: Controleer of de steekproefomvang groot genoeg is om de normale benadering te gebruiken.

Allereerst moeten we controleren of aan de volgende criteria is voldaan:

• np ≥ 5
• n(1-p) ≥ 5

In dit geval hebben we:

• np = 100*0,5 = 50
• n(1-p) = 100*(1 – 0,5) = 100*0,5 = 50

Beide getallen zijn groter dan 5, dus we kunnen veilig de normale benadering gebruiken.

Stap 2: Bepaal welke continuïteitscorrectie moet worden toegepast.

Verwijzend naar de bovenstaande tabel zien we dat we 0,5 moeten optellen als we werken met waarschijnlijkheid in de vorm van X ≤ 43. We zullen dus P(X< 43,5) vinden.

Stap 3: Zoek het gemiddelde (μ) en de standaardafwijking (σ) van de binominale verdeling.

µ = n*p = 100*0,5 = 50

σ = √ n*p*(1-p) = √ 100*.5*(1-.5) = √ 25 = 5

Stap 4: Vind de z-score met behulp van het gemiddelde en de standaardafwijking die u in de vorige stap hebt gevonden.

z = (x – μ) / σ = (43,5 – 50) / 5 = -6,5 / 5 = -1,3.

Stap 5: Zoek de waarschijnlijkheid die verband houdt met de z-score.

We kunnen de normale CDF-calculator gebruiken om te bepalen dat het gebied onder de standaardnormale curve links van -1,3 0,0968 is.

Dus de kans dat een munt minder dan of gelijk aan 43 keer kop krijgt bij 100 worpen is 0,0968 .

Dit voorbeeld illustreert het volgende:

• We hadden een situatie waarin een willekeurige variabele een binominale verdeling volgde.
• We wilden de waarschijnlijkheid vinden om een bepaalde waarde voor deze willekeurige variabele te krijgen.
• Omdat de steekproefomvang (n = 100 proeven) groot genoeg was, konden we de normale verdeling gebruiken om de binomiale verdeling te benaderen.

Dit is een compleet voorbeeld van hoe u de normale benadering kunt gebruiken om kansen te vinden die verband houden met de binominale verdeling.