Operaties met evenementen

Hier leggen we uit welke bewerkingen met gebeurtenissen kunnen worden uitgevoerd en hoe elk type bewerking met gebeurtenissen wordt berekend. Daarnaast kunt u met stapsgewijze oefeningen oefenen op operaties met gebeurtenissen.

Soorten bewerkingen met evenementen

In de waarschijnlijkheidstheorie zijn er drie soorten operaties met gebeurtenissen, namelijk:

• Unie van gebeurtenissen : het is de waarschijnlijkheid dat de ene of de andere gebeurtenis zal plaatsvinden.
• Snijpunt van gebeurtenissen : dit is de gezamenlijke waarschijnlijkheid van twee of meer gebeurtenissen.
• Gebeurtenisverschil : Dit is de kans dat één gebeurtenis plaatsvindt, maar een andere gebeurtenis niet tegelijkertijd.

Door eenvoudig elk type gebeurtenisoperatie te definiëren, is het moeilijk te begrijpen hoe elk type operatie wordt uitgevoerd. Daarom zullen we de drie bewerkingen hieronder nader toelichten.

vereniging van evenementen

De vereniging van twee gebeurtenissen A en B is de waarschijnlijkheid dat gebeurtenis A, gebeurtenis B of beide gebeurtenissen tegelijkertijd plaatsvinden.

Het symbool voor de vereniging van twee verschillende gebeurtenissen is een U, dus de vereniging van twee gebeurtenissen wordt uitgedrukt door een U in het midden van de twee letters die de gebeurtenissen vertegenwoordigen.

De waarschijnlijkheid dat twee gebeurtenissen samenkomen is gelijk aan de som van de waarschijnlijkheid dat elke gebeurtenis plaatsvindt minus de waarschijnlijkheid dat de twee gebeurtenissen elkaar kruisen.

We berekenen bijvoorbeeld de waarschijnlijkheid dat de gebeurtenissen „een even getal gooien“ of „een getal groter dan 4 gooien“ bij het gooien van een dobbelsteen.

Er zijn drie mogelijkheden om een even getal te krijgen bij het gooien van de dobbelsteen (2, 4 en 6), dus de kans dat de gebeurtenis plaatsvindt is:

Aan de andere kant zijn er slechts twee getallen groter dan vier (5 en 6), hun waarschijnlijkheid is daarom:

En het snijpunt van de twee gebeurtenissen komt overeen met de getallen die in beide gebeurtenissen voorkomen, dus:

Kortom, door gebeurtenissen A en B samen te voegen, zal de waarschijnlijkheid van optreden:

kruispunt van gebeurtenissen

Het snijpunt van twee gebeurtenissen A en B is de waarschijnlijkheid dat beide gebeurtenissen A en B tegelijkertijd plaatsvinden.

Het symbool voor de kruising van twee gebeurtenissen wordt weergegeven door een omgekeerde U.

De waarschijnlijkheid van de kruising van twee gebeurtenissen is gelijk aan het product van de kansen van elke gebeurtenis afzonderlijk.

Om de waarschijnlijkheid van het kruisen van twee gebeurtenissen te berekenen, moeten deze twee gebeurtenissen uiteraard compatibel zijn.

Als voorbeeld zullen we de waarschijnlijkheid vinden dat de gebeurtenissen “een even getal krijgen” en “een getal groter dan 4 krijgen” elkaar kruisen tijdens een dobbelsteenworp.

Zoals we hierboven hebben berekend, is de kans dat elke gebeurtenis afzonderlijk plaatsvindt:

De waarschijnlijkheid van de kruising van de twee gebeurtenissen zal dus de vermenigvuldiging zijn van de kansen van elke gebeurtenis:

verschil van gebeurtenissen

Het verschil tussen twee gebeurtenissen A min B komt overeen met alle elementaire gebeurtenissen van A die niet in B voorkomen. Met andere woorden, in het verschil tussen twee gebeurtenissen A min B is gebeurtenis A vervuld, maar kan gebeurtenis B niet tegelijkertijd worden vervuld.

De waarschijnlijkheid van het verschil tussen twee gebeurtenissen A en B is gelijk aan de waarschijnlijkheid van het optreden van gebeurtenis A minus de waarschijnlijkheid van het optreden van elementaire gebeurtenissen gedeeld door A en B.

Door hetzelfde voorbeeld te volgen als bij de twee voorgaande soorten operaties, zullen we de waarschijnlijkheid dat dit gebeurt bepalen aan de hand van het verschil tussen de gebeurtenis “het verkrijgen van een even getal” minus “het verkrijgen van een getal groter dan 4” bij het gooien van de dobbelstenen.

De waarschijnlijkheid dat gebeurtenissen A, B en hun snijpunt optreden, is als volgt (je kunt de gedetailleerde berekening hierboven bekijken):

De waarschijnlijkheid dat het verschil tussen de twee gebeurtenissen optreedt, is daarom:

Uit curiositeit heeft het verschil tussen de gebeurtenissen AB de eigenschap dat het ook equivalent is aan het snijpunt tussen gebeurtenis A en de complementaire (of tegengestelde) gebeurtenis van B.

Opgeloste oefeningen over operaties met evenementen

Oefening 1

Als u een zeszijdige dobbelsteen gooit, wat is dan de kans dat u een oneven getal of een getal kleiner dan 3 krijgt?

In deze oefening moeten we de waarschijnlijkheid berekenen dat de ene of de andere gebeurtenis zal plaatsvinden, dus moeten we de waarschijnlijkheid vinden dat de twee gebeurtenissen samenkomen.

We berekenen daarom eerst de kans op het verkrijgen van een oneven getal door de wet van Laplace toe te passen:

Ten tweede bepalen we de kans op een getal kleiner dan 3:

Laten we nu de waarschijnlijkheid berekenen van elementaire gebeurtenissen die zich herhalen in gebeurtenissen, wat alleen het getal 1 is (alleen oneven minder dan 3):

En ten slotte passen we de formule toe voor de vereniging van twee gebeurtenissen om hun waarschijnlijkheid te achterhalen:

Oefening 2

In een doos doen we 3 oranje ballen, 2 blauwe ballen en 5 witte ballen. We doen het willekeurige experiment waarbij we een bal oppakken, terug in de doos leggen en vervolgens een andere bal verwijderen. Wat is de kans dat je een blauwe bal op de eerste en een oranje bal op de tweede trekt?

Om dit probleem op te lossen, moeten we het snijpunt van de twee gebeurtenissen berekenen, omdat we willen dat beide elementaire gebeurtenissen waar zijn.

We berekenen daarom eerst de kans op het vangen van een blauwe bal door de regel van Laplace toe te passen:

We vinden dan de kans op het verkrijgen van een oranje bal:

En ten slotte berekenen we de waarschijnlijkheid van het kruisen van de twee gebeurtenissen door de twee gevonden kansen te vermenigvuldigen:

Concluderend is er slechts een kans van 6% om bij de eerste poging een blauwe bal te vangen en bij de tweede poging een oranje bal.

Oefening 3

De kans dat Marta slaagt voor een examen is 1/3 en de kans dat Juan voor hetzelfde examen slaagt is 2/5. Wat is de kans dat Marta slaagt en Juan faalt?

In deze oefening moeten we het verschil tussen de twee gebeurtenissen berekenen, omdat we willen dat Marta het goedkeurt, maar niet Juan. Om dit te doen, gebruikt u eenvoudigweg de formule voor dit type bewerking met gebeurtenissen:

De kans dat Marta slaagt en Juan tegelijkertijd faalt, is daarom 20%.