Totale waarschijnlijkheidsstelling

In dit artikel wordt uitgelegd wat de totale waarschijnlijkheidsstelling is en waarvoor deze wordt gebruikt in kansrekening en statistiek. Zo vind je de formule voor de totale waarschijnlijkheidsstelling, de opgeloste opgaven en wanneer de totale waarschijnlijkheidsstelling wordt gebruikt.

Wat is de totale waarschijnlijkheidsstelling?

In de waarschijnlijkheidstheorie is de totale waarschijnlijkheidsstelling een wet die het mogelijk maakt om de waarschijnlijkheid van een gebeurtenis die geen deel uitmaakt van een steekproefruimte te berekenen uit de voorwaardelijke kansen van alle gebeurtenissen in genoemde steekproefruimte.

De totale waarschijnlijkheidsstelling wordt dus gebruikt om de waarschijnlijkheid van een specifieke gebeurtenis te berekenen op basis van gedeeltelijke informatie over die gebeurtenis. Soms kunnen we de waarschijnlijkheid van een gebeurtenis niet bepalen door de regel van Laplace rechtstreeks toe te passen, omdat we niet over alle benodigde informatie beschikken. Maar als we gegevens over deze gebeurtenis kennen in verhouding tot andere gebeurtenissen, is de totale waarschijnlijkheidsstelling meestal nuttig.

Kort gezegd wordt de totale waarschijnlijkheidsstelling gebruikt wanneer we de waarschijnlijkheid van een gebeurtenis willen berekenen, maar er alleen onder bepaalde omstandigheden informatie over hebben. Sommige toepassingen van deze stelling omvatten bijvoorbeeld experimenten met meerdere gevallen, wachtrijtheorie en overlevingsanalyse.

Formule voor de totale waarschijnlijkheidsstelling

De totale waarschijnlijkheidsstelling zegt dat gegeven een reeks gebeurtenissen {A ₁ , A ₂ ,…, _An } die een partitie vormen in de steekproefruimte, de waarschijnlijkheid van gebeurtenis B gelijk is aan de som van de producten van de waarschijnlijkheid van elke gebeurtenis. gebeurtenis P(A _i ) met de voorwaardelijke waarschijnlijkheid P(B|A _i ).

Daarom is de formule voor de totale waarschijnlijkheidsstelling :

Goud:

• 

  is de waarschijnlijkheid dat gebeurtenis B zal plaatsvinden.

• 

  is de voorwaardelijke waarschijnlijkheid van gebeurtenis B gegeven gebeurtenis _Ai .

• 

  is de waarschijnlijkheid dat gebeurtenis A _i plaatsvindt.

Houd er rekening mee dat in waarschijnlijkheid een partitie van de voorbeeldruimte wordt gedefinieerd als een reeks onderling onverenigbare gebeurtenissen waarvan de vereniging de voorbeeldruimte vormt.

Concreet voorbeeld van de totale waarschijnlijkheidsstelling

Nadat we de definitie van de totale waarschijnlijkheidsstelling hebben gezien en wat de formule ervan is, zullen we een opgeloste oefening zien over hoe een waarschijnlijkheid wordt berekend met de totale waarschijnlijkheidsstelling om de betekenis ervan beter te begrijpen.

• Een elektronicawinkel verkoopt televisies van drie merken: X, Y, Z. Naar schatting bestaat 20% van de omzet uit televisies van het merk, het percentage defecte merktelevisies en 4% uit televisies van het merk Z. televisies zijn defect. Hoe waarschijnlijk is het dat u een defecte tv koopt?

De probleemstelling geeft ons de kansen dat een klant elk merk tv zal kopen:

• Gebeurtenis A ₁ : Een klant koopt _een televisiemerk
• Gebeurtenis A ₂ : Een klant koopt een televisie van merk Y → P(A ₂ )=0,50
• Gebeurtenis A ₃ : Een klant koopt een televisiemerk Z → P(A ₃ )=0,30

Daarnaast geeft de oefenverklaring ons ook de kans dat een televisie van elk merk defect is:

Gebeurtenis B: De tv is defect

• B|A ₁ : Bij een televisie van merk X is de televisie defect → P(B|A ₁ )=0,05
• B|A ₂ : Bij een televisiemerk Y is de televisie defect → P(B|A ₂ )=0,03
• B|A ₃ : Bij een merk Z televisie is de televisie defect → P(B|A ₃ )=0,04

De waarschijnlijkheidsboom van het probleem is dus als volgt:

Om de kans te berekenen dat we een defecte tv kopen, moeten we dus de formule voor de totale waarschijnlijkheidsregel gebruiken:

In ons geval bestaat de steekproefruimte uit drie gebeurtenissen (A ₁ , A ₂ en A ₃ ), dus de formule voor de totale waarschijnlijkheidsstelling is als volgt:

Het is daarom voldoende om de waarschijnlijkheden van de vorige uitdrukking te vervangen om de waarschijnlijkheid te bepalen dat u een defecte televisie koopt:

Concluderend is er een kans van 3,7% dat we een tv kopen en deze defect is.

Totale waarschijnlijkheidsstelling en stelling van Bayes

De totale waarschijnlijkheidsstelling en de stelling van Bayes zijn twee belangrijke stellingen in de waarschijnlijkheidstheorie, vooral omdat ze ons in staat stellen kansen te berekenen op basis van voorwaardelijke waarschijnlijkheidswaarden.

De stelling van Bayes is een wet van de waarschijnlijkheidstheorie die wordt gebruikt om de waarschijnlijkheid van een gebeurtenis te berekenen wanneer a priori informatie over die gebeurtenis bekend is.

Concreet zijn de totale waarschijnlijkheidsstelling en de stelling van Bayes gerelateerd, in feite is de noemer van de formule van de Bayes-stelling equivalent aan de formule van de totale waarschijnlijkheidsstelling.

Klik op de volgende link om te zien wat de stelling van Bayes is en voorbeelden van de toepassing ervan: