Vis distributie

Von Dr.benjamin anderson August 3, 2023 Waarschijnlijkheid Keine Kommentare

In dit artikel wordt uitgelegd wat de Poisson-verdeling in de statistiek is en waarvoor deze wordt gebruikt. U vindt dus de definitie van de Poisson-verdeling, voorbeelden van Poisson-verdelingen en wat hun eigenschappen zijn. Ten slotte kunt u met een online calculator elke waarschijnlijkheid van de Poisson-verdeling berekenen.

Wat is de Poissonverdeling?

De Poisson-verdeling is een waarschijnlijkheidsverdeling die de waarschijnlijkheid definieert dat een bepaald aantal gebeurtenissen gedurende een bepaalde periode plaatsvindt.

Met andere woorden: de Poisson-verdeling wordt gebruikt om willekeurige variabelen te modelleren die het aantal keren beschrijven dat een fenomeen zich binnen een tijdsinterval herhaalt.

De Poisson-verdeling heeft een karakteristieke parameter, weergegeven door de Griekse letter λ, en geeft aan hoe vaak de bestudeerde gebeurtenis naar verwachting zal plaatsvinden tijdens een bepaald interval.

$X\sim \text{Poisson}(\lambda)$

Over het algemeen wordt de Poisson-verdeling gebruikt om gebeurtenissen met een zeer lage waarschijnlijkheid van optreden statistisch te modelleren. Hieronder ziet u verschillende voorbeelden van dit type kansverdeling.

Voorbeelden van Poisson-verdeling

Nadat we de definitie van de Poisson-verdeling hebben gezien, volgen hier enkele voorbeelden van de Poisson-verdeling.

Voorbeelden van Poisson-verdeling:

Het aantal mensen dat binnen een uur een winkel binnenkomt.
Het aantal voertuigen dat in een maand de grens tussen twee landen oversteekt.
Het aantal gebruikers dat een webpagina per dag bezoekt.
Het aantal defecte onderdelen dat een fabriek per dag produceert.
Het aantal oproepen dat een telefooncentrale per minuut ontvangt.

Formule voor visverdeling

In een Poisson-verdeling is de waarschijnlijkheid dat x- gebeurtenissen plaatsvinden gelijk aan het getal e tot de macht -λ vermenigvuldigd met λ tot de macht x en gedeeld door de faculteit van x .

Daarom is de formule voor het berekenen van de waarschijnlijkheid van een Poisson-verdeling :

👉 U kunt de onderstaande rekenmachine gebruiken om de waarschijnlijkheid te berekenen van een variabele die de Poisson-verdeling volgt.

Omdat de Poisson-verdeling een discrete kansverdeling is, moet je, om een cumulatieve waarschijnlijkheid te bepalen, de kansen van alle waarden tot aan de betreffende waarde vinden en vervolgens alle berekende kansen bij elkaar optellen.

Opgeloste oefening op de Poisson-verdeling

Het aantal producten dat door een merk wordt verkocht, volgt een Poisson-verdeling van λ=5 eenheden/dag. Hoe groot is de kans dat u op één dag slechts 7 eenheden heeft verkocht? En de kans dat u op één dag 3 eenheden of minder heeft verkocht?

Om de verschillende kansen te verkrijgen die het probleem vereist, moeten we de Poisson-verdelingsformule toepassen (zie hierboven). Met deze formule berekenen we dus de kans dat we 7 eenheden op één dag verkopen:

$\begin{aligned}P[X=x]&=\cfrac{e^{-\lambda}\cdot \lambda^x}{x!}\\[2ex]P[X=7]&=\cfrac{e^{-5}\cdot 5^7}{7!}\\[2ex]P[X=7]&=0,1044\end{aligned}$

Ten tweede wordt ons gevraagd de cumulatieve waarschijnlijkheid te bepalen dat we drie of minder eenheden verkopen. Om deze waarschijnlijkheid te vinden, moeten we daarom de waarschijnlijkheid berekenen dat we 1 eenheid, 2 eenheden en 3 eenheden afzonderlijk verkopen en deze vervolgens bij elkaar optellen.

$P[X\leq 3]=P[X=1]+P[X=2]+P[X=3]$

Daarom berekenen we eerst elke kans afzonderlijk:

$\begin{aligned}P[X=x]&=\cfrac{e^{-\lambda}\cdot \lambda^x}{x!}\\[2ex]P[X=1]&=\cfrac{e^{-5}\cdot 5^1}{1!}\\[2ex]P[X=1]&=0,0337\end{aligned}$

$\begin{aligned}P[X=x]&=\cfrac{e^{-\lambda}\cdot \lambda^x}{x!}\\[2ex]P[X=2]&=\cfrac{e^{-5}\cdot 5^2}{2!}\\[2ex]P[X=2]&=0,0842\end{aligned}$

$\begin{aligned}P[X=x]&=\cfrac{e^{-\lambda}\cdot \lambda^x}{x!}\\[2ex]P[X=3]&=\cfrac{e^{-5}\cdot 5^3}{3!}\\[2ex]P[X=3]&=0,1404\end{aligned}$

Vervolgens tellen we de drie berekende kansen op om de waarschijnlijkheid te bepalen dat we drie of minder eenheden per dag verkopen.

$\begin{aligned}P[X\leq 3]&=P[X=1]+P[X=2]+P[X=3]\\[2ex]P[X\leq 3]&=0,0337+0,0842+0,1404\\[2ex]P[X\leq 3]&=0,2583\end{aligned}$

Kenmerken van de Poisson-verdeling

In deze sectie zullen we zien wat de kenmerken zijn van de Poisson-verdeling.

De Poisson-verdeling wordt gedefinieerd door een enkele karakteristieke parameter, λ, die het aantal keren aangeeft dat de bestudeerde gebeurtenis naar verwachting gedurende een bepaalde periode zal plaatsvinden.

$X\sim \text{Poisson}(\lambda)$

Het gemiddelde van een Poisson-verdeling is gelijk aan de karakteristieke parameter λ.

$E[X]=\lambda$

Op dezelfde manier is de variantie van een Poisson-verdeling equivalent aan de karakteristieke parameter λ.

$Var(X)=\lambda$

Als λ een geheel getal is, is de modus van de Poisson-verdeling bimodaal en zijn de waarden λ en λ-1. In plaats daarvan, als λ geen geheel getal is, is de modus van de Poisson-verdeling het grootste gehele getal kleiner dan of gelijk aan λ.

$\begin{array}{l}\lambda \in \mathbb{Z} \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ Mo=\{\lambda, \lambda-1\} \\[2ex]}\lambda \ \cancel{\in} \ \mathbb{Z} \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ Mo=\lfloor\lambda\rfloor\end{array}$

Er bestaat geen specifieke formule om de mediaan van een Poisson-verdeling te bepalen, maar je kunt het interval wel vinden:

$\lambda-\ln 2\leq Me < \lambda +\cfrac{1}{3}$

De waarschijnlijkheidsfunctie van de Poisson-verdeling is als volgt:

$P[X=x]=\cfrac{e^{-\lambda}\cdot \lambda^x}{x!}$

Het toevoegen van onafhankelijke willekeurige Poisson-variabelen resulteert in een andere willekeurige Poisson-variabele waarvan de karakteristieke parameter de som is van de parameters van de oorspronkelijke variabelen.

$\begin{array}{c}X_i\sim \text{Poisson}(\lambda_i) \quad i=1,\ldots,N\\[2ex] \displaystyle Y=\sum_{i=1}^N X_i\sim \text{Poisson}\left(\sum_{i=1}^N \lambda_i\right)\end{array}$

Een binomiale verdeling kan worden benaderd als een Poisson-verdeling als het totale aantal waarnemingen voldoende groot is (n≥100), waarbij λ het product is van de twee karakteristieke parameters van de binominale verdeling.

$X\sim \text{Bin}(n,p)\ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ X\sim \text{Poisson}(n\cdot p)$

➤ Zie: Kenmerken van de binominale verdeling

Visdistributiecalculator

Voer de waarde van de parameter λ en de waarde van x in de onderstaande rekenmachine in om de waarschijnlijkheid te berekenen. U moet de waarschijnlijkheid selecteren die u wilt berekenen en de getallen invoeren met de punt als decimaal scheidingsteken, bijvoorbeeld 0,1667.

Über den Autor

Dr.benjamin anderson

Ik ben Benjamin, een gepensioneerde hoogleraar statistiek die nu een toegewijde Statorials-lesgever is. Ik heb uitgebreide ervaring en expertise op het gebied van statistiek en ik ben vastbesloten om mijn kennis te delen met studenten via Statorials. Lees verder