Wat is foutpropagatie? (definitie & #038; voorbeeld)
Foutvoortplanting treedt op wanneer u bepaalde grootheden a , b , c , … meet met onzekerheden δa , δb , δc … en vervolgens een andere grootheid Q wilt berekenen met behulp van de metingen van a , b , c , enz.
Het blijkt dat de onzekerheden δ a , δ b , δc zich zullen voortplanten (dat wil zeggen “verspreiden”) tot aan de onzekerheid van Q.
Om de onzekerheid van Q , aangeduid met δ Q , te berekenen, kunnen we de volgende formules gebruiken.
Let op: Voor elk van de onderstaande formules wordt aangenomen dat de grootheden a , b , c , etc. willekeurige en niet-gecorreleerde fouten bevatten.
Optellen of aftrekken
Als Q = a + b + … + c – (x + y + … + z)
Dan is δ Q = √ (δa) 2 + (δb) 2 + … + (δc) 2 + (δx) 2 + (δy) 2 + … + (δz) 2
Voorbeeld: Stel dat u de lengte van een persoon vanaf de grond tot zijn middel meet op 40 inch ± 0,18 inch. Vervolgens meet u de lengte van een persoon vanaf zijn middel tot de bovenkant van zijn hoofd, zodat deze 30 inch ± 0,06 inch bedraagt.
Stel dat je deze twee metingen vervolgens gebruikt om de totale lengte van de persoon te berekenen. De hoogte wordt als volgt berekend: 40 inch + 30 inch = 70 inch. De onzekerheid van deze schatting zou als volgt worden berekend:
- δ Q = √ (δa) 2 + (δb) 2 + … + (δc) 2 + (δx) 2 + (δy) 2 + … + (δz) 2
- δ Q = √ (.18) 2 + (.06) 2
- δQ = 0,1897
Dit geeft ons een uiteindelijke meting van 70 ± 0,1897 inch.
Vermenigvuldigen of delen
Als Q = (ab…c) / (xy…z)
Dan is δQ = |Q| * √ (δa/a) 2 + (δb/b) 2 + … + (δc/c) 2 + (δx/x) 2 + (δy/y) 2 + … + (δz/z) 2
Voorbeeld: Stel dat u de verhouding wilt meten tussen de lengte van element a en die van element b . Je meet de lengte van a als 20 inch ± 0,34 inch en de lengte van b als 15 inch ± 0,21 inch.
De verhouding gedefinieerd als Q = a/b zou worden berekend als: 20/15 = 1,333 . De onzekerheid van deze schatting zou als volgt worden berekend:
- δQ = |Q| * √ (δa/a) 2 + (δb/b) 2 + … + (δc/c) 2 + (δx/x) 2 + (δy/y) 2 + … + (δz/z) 2
- δQ = |1,333| * √ (.34/20) 2 + (.21/15) 2
- δQ = 0,0294
Dit geeft ons een uiteindelijke verhouding van 1,333 ± 0,0294 inch.
Gemeten hoeveelheid vermenigvuldigd met het exacte aantal
Als A precies bekend is en Q = A x
Dan is δ Q = |A|δx
Voorbeeld: Stel dat u de diameter van een cirkel meet als 5 meter ± 0,3 meter. Deze waarde gebruik je vervolgens om de omtrek van de cirkel c = πd te berekenen.
De omtrek zou worden berekend als c = πd = π*5 = 15,708 . De onzekerheid van deze schatting zou als volgt worden berekend:
- δQ = |A|δx
- δ Q = | π | * 0,3
- δQ = 0,942
De omtrek van de cirkel is dus 15,708 ± 0,942 meter.
Onzekerheid in een macht
Als n een exact getal is en Q = x n
Dan is δ Q = | Vraag | * | n | * (δx /x )
Voorbeeld: Stel dat u de zijkant van een kubus meet als s = 2 inch ± 0,02 inch. Met deze waarde bereken je vervolgens het volume van de kubus v = s 3 .
Het volume wordt als volgt berekend: v = s 3 = 2 3 = 8 inch 3 . De onzekerheid van deze schatting zou als volgt worden berekend:
- δ Q = | Vraag | * | n | * (δx /x )
- δQ = |8| * |3| * (.02/2)
- δQ = 0,24
Het volume van de kubus is dus 8 ± 0,24 inch. 3 .
Algemene foutvoortplantingsformule
Als Q = Q(x) een functie is van x , kan de algemene formule voor foutvoortplanting als volgt worden gedefinieerd:
δQ = |dQ / dX |δx
Houd er rekening mee dat u deze formules zelden helemaal opnieuw hoeft af te leiden, maar het kan nuttig zijn om de algemene formule te kennen die is gebruikt om ze af te leiden.
Über den Autor
Dr.benjamin anderson
Ik ben Benjamin, een gepensioneerde hoogleraar statistiek die nu een toegewijde Statorials-lesgever is. Ik heb uitgebreide ervaring en expertise op het gebied van statistiek en ik ben vastbesloten om mijn kennis te delen met studenten via Statorials. Lees verder