Hoe u de waarschijnlijkheid van a en b kunt vinden: met voorbeelden

Gegeven twee gebeurtenissen, A en B, betekent ‚het vinden van de waarschijnlijkheid van A en B‘ het vinden van de waarschijnlijkheid dat gebeurtenis A en gebeurtenis B beide plaatsvinden .

Over het algemeen schrijven we deze waarschijnlijkheid op twee manieren:

• P(A en B) – Schriftelijke vorm
• P(A∩B) – Vormnotatie

Hoe we deze waarschijnlijkheid berekenen, hangt af van de vraag of gebeurtenissen A en B onafhankelijk of afhankelijk zijn.

Als A en B onafhankelijk zijn, is de formule die we gebruiken om P(A∩B) te berekenen eenvoudigweg:

 Independent Events: P(A∩B) = P(A) * P(B)

Als A en B afhankelijk zijn, dan is de formule die we gebruiken om P(A∩B) te berekenen:

 Dependent Events: P(A∩B) = P(A) * P(B|A)

Merk op dat P(B|A) de voorwaardelijke waarschijnlijkheid is dat gebeurtenis B plaatsvindt, gegeven   gebeurtenis A plaatsvindt.

De volgende voorbeelden laten zien hoe u deze formules in de praktijk kunt gebruiken.

Voorbeelden van P(A∩B) voor onafhankelijke gebeurtenissen

De volgende voorbeelden laten zien hoe u P(A∩B) kunt berekenen wanneer A en B onafhankelijke gebeurtenissen zijn.

Voorbeeld 1: De kans dat je favoriete honkbalteam de World Series wint is 1/30 en de kans dat je favoriete voetbalteam de Super Bowl wint is 1/32. Hoe groot is de kans dat uw twee favoriete teams hun respectievelijke kampioenschappen zullen winnen?

Oplossing: In dit voorbeeld is de waarschijnlijkheid dat elke gebeurtenis plaatsvindt onafhankelijk van de andere. De waarschijnlijkheid dat beide voorkomen wordt dus als volgt berekend:

P(A∩B) = (1/30) * (1/32) = 1/960 = .00104.

Voorbeeld 2: Je gooit een dobbelsteen en gooit tegelijkertijd een munt op. Wat is de kans dat de dobbelsteen op 4 terechtkomt en de munt op munt?

Oplossing: In dit voorbeeld is de waarschijnlijkheid dat elke gebeurtenis plaatsvindt onafhankelijk van de andere. De waarschijnlijkheid dat beide voorkomen wordt dus als volgt berekend:

P(A∩B) = (1/6) * (1/2) = 1/12 = 0,083333.

Voorbeelden van P(A∩B) voor afhankelijke gebeurtenissen

De volgende voorbeelden laten zien hoe u P(A∩B) kunt berekenen wanneer A en B afhankelijke gebeurtenissen zijn.

Voorbeeld 1: Een urn bevat 4 rode ballen en 4 groene ballen. Je kiest willekeurig een balletje uit de urn. Vervolgens selecteer je, zonder vervanging, een andere bal. Hoe groot is de kans dat je elke keer een rode bal kiest?

Oplossing: In dit voorbeeld heeft de kleur van de bal die u de eerste keer kiest invloed op de kans dat u de tweede keer een rode bal kiest. De twee gebeurtenissen zijn dus afhankelijk.

Laten we gebeurtenis A definiëren als de kans dat we de eerste keer een rode bal selecteren. Deze waarschijnlijkheid is P(A) = 4/8. Vervolgens moeten we de waarschijnlijkheid vinden dat we opnieuw een rode bal selecteren, gegeven het feit dat de eerste bal rood was. In dit geval zijn er nog maar 3 rode ballen over om te kiezen en in totaal slechts 7 ballen in de urn. P(B|A) is dus 3/7.

Dus de kans dat we elke keer een rode bal selecteren, zou als volgt worden berekend:

P(A∩B) = P(A) * P(B|A) = (4/8) * (3/7) = 0,214.

Voorbeeld 2: In een bepaalde klas zitten 15 jongens en 12 meisjes. Stel dat we de namen van elke leerling in een tas stoppen. We kiezen willekeurig een naam uit de tas. Vervolgens kiezen we, zonder vervanging, een andere naam. Hoe groot is de kans dat beide namen jongens zijn?

Oplossing: In dit voorbeeld heeft de voornaam die we de eerste keer kiezen invloed op de kans dat we in de tweede trekking de voornaam van een jongen kiezen. De twee gebeurtenissen zijn dus afhankelijk.

Laten we gebeurtenis A definiëren als de kans dat we voor de eerste keer een jongen selecteren. Deze waarschijnlijkheid is P(A) = 15/27. Vervolgens moeten we de waarschijnlijkheid bepalen dat we opnieuw een jongen selecteren, gegeven het feit dat de voornaam een jongen was. In dit geval zijn er nog maar 14 jongens om uit te kiezen en zitten er in totaal slechts 26 namen in de tas. P(B|A) is dus 14/26.

Dus de kans dat we elke keer een jongensnaam kiezen, wordt als volgt berekend:

P(A∩B) = P(A) * P(B|A) = (15/27) * (14/26) = 0,299.