Waarschijnlijkheid van de unie van gebeurtenissen

In dit artikel leggen we uit hoe je de uniekans van gebeurtenissen kunt berekenen. Je zult dus ontdekken wat de formule is voor de waarschijnlijkheid van de unie van gebeurtenissen en bovendien oefeningen die stap voor stap worden opgelost.

Wat is de unie van gebeurtenissen?

In de waarschijnlijkheidstheorie is de vereniging van gebeurtenissen een gebeurtenisoperatie waarvan het resultaat is samengesteld uit alle elementaire gebeurtenissen van de sets van de operatie. Met andere woorden: de vereniging van twee gebeurtenissen A en B is de verzameling gebeurtenissen die in A, B of in beide voorkomen.

De vereniging van twee gebeurtenissen wordt uitgedrukt door het symbool ⋃. De vereniging van gebeurtenissen A en B wordt dus geschreven als A⋃B.

Als bijvoorbeeld in het willekeurige experiment waarbij een dobbelsteen wordt gegooid, één gebeurtenis een oneven getal gooit A={1, 3, 5} en een andere gebeurtenis een getal gooit dat kleiner is dan drie B={1, 2}, dan is de vereniging van de twee gebeurtenissen zijn A⋃B={1, 2, 3, 5}.

Formule voor de waarschijnlijkheid van de unie van gebeurtenissen

De waarschijnlijkheid dat twee gebeurtenissen samenkomen is gelijk aan de waarschijnlijkheid van de eerste gebeurtenis plus de waarschijnlijkheid van de tweede gebeurtenis minus de waarschijnlijkheid dat de twee gebeurtenissen elkaar kruisen.

Met andere woorden, de formule voor de waarschijnlijkheid van de vereniging van twee gebeurtenissen is P(A⋃B)=P(A)+P(B)-P(A⋂B).

Goud:

• 

  is de waarschijnlijkheid van de vereniging van gebeurtenis A en gebeurtenis B.

• 

  is de kans dat gebeurtenis A zal plaatsvinden.

• 

  is de waarschijnlijkheid dat gebeurtenis B zal plaatsvinden.

• 

  is de waarschijnlijkheid van het snijpunt van gebeurtenis A en gebeurtenis B.

Als de twee gebeurtenissen echter incompatibel zijn, is het snijpunt tussen de twee gebeurtenissen nul. Daarom wordt de waarschijnlijkheid van het samengaan van twee onverenigbare gebeurtenissen berekend door de waarschijnlijkheid van het optreden van elke gebeurtenis op te tellen.

Opgeloste voorbeelden van de waarschijnlijkheid van een vereniging van gebeurtenissen

Zodat u kunt zien hoe de waarschijnlijkheid van een vereniging van twee gebeurtenissen wordt berekend, laten we hieronder twee voorbeelden achter die stap voor stap worden opgelost. We zullen eerst de waarschijnlijkheid vinden van de vereniging van twee onverenigbare gebeurtenissen en vervolgens van twee compatibele gebeurtenissen, aangezien de berekening enigszins anders is.

Waarschijnlijkheid van de vereniging van twee onverenigbare gebeurtenissen

• We stoppen 10 blauwe ballen, 6 oranje ballen en 4 groene ballen in een doos. Wat is de kans dat je een blauwe of oranje bal trekt?

De oefening vraagt ons om de waarschijnlijkheid te bepalen dat de ene of de andere gebeurtenis zal plaatsvinden. Om het probleem op te lossen, moeten we daarom de formule gebruiken voor de vereniging van twee gebeurtenissen:

We berekenen dus eerst de waarschijnlijkheid dat elke gebeurtenis afzonderlijk plaatsvindt met behulp van de Laplace-regelformule :

In dit geval kunnen gebeurtenissen echter niet tegelijkertijd plaatsvinden, omdat het twee onverenigbare gebeurtenissen zijn. Dus als we een blauwe bal trekken, kunnen we niet langer een oranje bal tekenen, en omgekeerd.

Daarom is de gezamenlijke waarschijnlijkheid van beide gebeurtenissen nul en daarom is de formule vereenvoudigd:

De berekening van de kans op het vangen van een blauwe bal of een oranje bal is dus als volgt:

Kortom, de kans dat een blauwe of oranje bal uit de box wordt gehaald is 80%.

Waarschijnlijkheid van de vereniging van twee compatibele gebeurtenissen

• Als we een munt twee keer opgooien, wat is dan de kans dat we kop krijgen bij minstens één worp?

In dit geval zijn de gebeurtenissen compatibel, omdat we bij de eerste worp ‘kop’ en bij de tweede worp ‘munt’ kunnen krijgen. Daarom is de formule voor het berekenen van de waarschijnlijkheid van een vereniging van gebeurtenissen niet vereenvoudigd en luidt deze als volgt:

We moeten dus eerst de waarschijnlijkheid berekenen dat we “kop” krijgen bij het opgooien van een munt door de regel van Laplace toe te passen:

Laten we nu de waarschijnlijkheid berekenen van het snijpunt van de twee gebeurtenissen met behulp van de formule van de vermenigvuldigingsregel :

Ten slotte, om de waarschijnlijkheid te bepalen dat kop valt bij ten minste één van de twee worpen, vervangt u eenvoudigweg de waarden in de formule en voert u de berekening uit:

Concluderend: de kans dat als je een munt twee keer opgooit, deze minstens één keer kop oplevert, is 75%.

Eigenschappen van evenementenverenigingen

In de waarschijnlijkheidstheorie voldoet het functioneren van de unie van gebeurtenissen aan de volgende eigenschappen:

• Commutatieve eigenschap: de volgorde van gebeurtenissen in de unie verandert het resultaat van de bewerking niet.

• Associatieve eigenschap: de vereniging van drie gebeurtenissen kan in elke volgorde worden berekend, omdat het resultaat hetzelfde is.

• Distributieve eigendom: de vereniging van gebeurtenissen realiseert de distributieve eigendom met de kruising van gebeurtenissen.