Gebeurtenissen (waarschijnlijkheid)

Dit artikel legt uit wat een gebeurtenis is in de waarschijnlijkheidstheorie. Je zult daarom ontdekken wat de verschillende soorten gebeurtenissen zijn in waarschijnlijkheid, voorbeelden van gebeurtenissen en ook welke bewerkingen met gebeurtenissen kunnen worden uitgevoerd.

Wat zijn de waarschijnlijkheidsgebeurtenissen?

In de waarschijnlijkheidstheorie komt een gebeurtenis overeen met elk van de mogelijke uitkomsten van een willekeurig experiment. Daarom is de waarschijnlijkheid van een gebeurtenis een waarde die de waarschijnlijkheid aangeeft dat een uitkomst optreedt.

Bij het opgooien van munten zijn er bijvoorbeeld twee gebeurtenissen: ‚kop‘ en ‚munt‘. In dit geval is de kans dat elke gebeurtenis optreedt 0,50 of 50%.

Bovendien vormt de reeks gebeurtenissen in een experiment de monsterruimte .

Voorbeelden van gebeurtenissen in waarschijnlijkheid

Zodra we de definitie van evenement kennen, zullen we verschillende voorbeelden van evenementen zien om het concept te begrijpen.

In het willekeurige experiment van het gooien van een dobbelsteen zijn er bijvoorbeeld zes mogelijke gebeurtenissen, met als positieve kant een 1, 2, 3, 4, 5 of 6.

Een ander heel typisch voorbeeld van de waarschijnlijkheidstheorie is het trekken van een kaart uit een pak kaarten. Elke kaart in het spel is dus een andere gebeurtenis.

Soorten evenementen

De soorten evenementen zijn:

• Elementaire gebeurtenis (of eenvoudige gebeurtenis): elk van de mogelijke resultaten van het experiment.
• Samengestelde gebeurtenis: is een subset van de monsterruimte.
• Bepaalde gebeurtenis: dit is het resultaat van een willekeurige ervaring die altijd zal plaatsvinden.
• Onmogelijke gebeurtenis: dit is het resultaat van een willekeurig experiment dat nooit zal gebeuren.
• Compatibele evenementen: twee evenementen zijn compatibel als ze een elementaire gebeurtenis gemeen hebben.
• Incompatibele gebeurtenissen: Twee gebeurtenissen zijn incompatibel als ze geen enkele elementaire gebeurtenis delen.
• Onafhankelijke gebeurtenissen: twee gebeurtenissen zijn onafhankelijk als de waarschijnlijkheid dat de ene plaatsvindt, de waarschijnlijkheid van de andere niet beïnvloedt.
• Afhankelijke gebeurtenissen: Twee gebeurtenissen zijn afhankelijk als de waarschijnlijkheid dat de ene plaatsvindt, de waarschijnlijkheid dat de andere plaatsvindt, verandert.
• Gebeurtenis die tegengesteld is aan een andere: deze gebeurtenis die plaatsvindt wanneer de andere gebeurtenis niet plaatsvindt.

Hieronder leggen we elk type evenement nader uit en daarnaast laten we u van elk type evenement een voorbeeld zien.

elementaire gebeurtenis

Een elementaire gebeurtenis is elke mogelijke uitkomst van een willekeurig experiment. Bijgevolg bestaat een elementaire gebeurtenis uit een enkel element van de monsterruimte.

Als u bijvoorbeeld een dobbelsteen gooit, zijn de zes mogelijke elementaire gebeurtenissen de zes zijden van de dobbelsteen, aangezien ze allemaal kunnen verschijnen.

Samengesteld evenement

Een samengestelde gebeurtenis is een reeks mogelijke uitkomsten van een willekeurig experiment. Daarom is een samengestelde gebeurtenis een reeks afzonderlijke gebeurtenissen en een subset van de voorbeeldruimte.

Bij het gooien van een dobbelsteen kunnen bijvoorbeeld verschillende voorbeelden van samengestelde gebeurtenissen worden geïdentificeerd. Het trekken van een even getal is dus een samengestelde gebeurtenis, aangezien er drie mogelijke uitkomsten zijn inbegrepen: de getallen 2, 4 en 6.

Beveiligingsevenement

Een bepaalde gebeurtenis is het resultaat van een willekeurige ervaring die altijd zal plaatsvinden. Met andere woorden: een zekere gebeurtenis is de verzameling elementaire gebeurtenissen van een ervaring.

Daarom bestaat een veilige gebeurtenis uit alle elementen in de monsterruimte van het experiment.

Als je bijvoorbeeld een dobbelsteen gooit, zijn er zes mogelijke uitkomsten: het gooien van een 1, 2, 3, 4, 5 of 6. Daarom zou een voorbeeld van een bepaalde gebeurtenis in dit experiment zijn : ‚een getal gooien dat kleiner is dan 7‘. ”, aangezien het altijd zal worden vervuld, ongeacht het resultaat.

onmogelijke gebeurtenis

Een onmogelijke gebeurtenis is het resultaat van een willekeurig experiment dat nooit zal gebeuren. Met andere woorden: de kans dat een onmogelijke gebeurtenis zich voordoet is 0%.

Wanneer u bijvoorbeeld een dobbelsteen gooit, kunnen er slechts zes gebeurtenissen plaatsvinden: 1, 2, 3, 4, 5 of 6. Daarom is een onmogelijke gebeurtenis in dit experiment ‚een getal groter dan 7 gooien‘, aangezien dit resultaat kan nooit verkregen worden. worden bereikt.

Ondersteunde evenementen

Twee of meer gebeurtenissen zijn compatibel als ze tegelijkertijd kunnen plaatsvinden, dat wil zeggen dat twee of meer gebeurtenissen compatibel zijn als ze een elementaire gebeurtenis gemeen hebben.

Als u bijvoorbeeld een dobbelsteen gooit, zijn er twee compatibele gebeurtenissen : ‚een oneven getal gooien‘ en ‚een getal groter dan 4 gooien‘. Deze twee gebeurtenissen zijn compatibel omdat ze tegelijkertijd kunnen plaatsvinden, aangezien het getal 5 een oneven getal is en tegelijkertijd een getal groter dan 4.

Incompatibele evenementen

Twee of meer gebeurtenissen zijn incompatibel als ze niet tegelijkertijd kunnen plaatsvinden, dat wil zeggen: twee of meer gebeurtenissen zijn incompatibel als ze geen elementaire gebeurtenis gemeen hebben.

Twee onverenigbare gebeurtenissen bij het gooien van een dobbelsteen zijn bijvoorbeeld „een even getal gooien“ en „een getal kleiner dan 2 gooien“. De twee gebeurtenissen zijn onverenigbaar omdat ze nooit tegelijkertijd zullen plaatsvinden, aangezien het enige getal kleiner dan twee dat kan worden verkregen 1 is, wat oneven is.

Onafhankelijke evenementen

Onafhankelijke gebeurtenissen zijn de resultaten van een willekeurig experiment waarvan de waarschijnlijkheid van optreden niet van elkaar afhankelijk is. Met andere woorden: twee gebeurtenissen A en B zijn onafhankelijk als de waarschijnlijkheid dat gebeurtenis A plaatsvindt niet afhankelijk is van het optreden van gebeurtenis B, en omgekeerd.

Als er bijvoorbeeld twee keer met een munt wordt gegooid, zijn de gebeurtenissen ‘kop krijgen bij de eerste worp’ en ‘munt krijgen bij de tweede worp’ onafhankelijk, omdat het krijgen van kop of munt bij de tweede worp niet afhankelijk is van het resultaat dat wordt verkregen bij de tweede worp. tweede worp. eerste worp. gooien. .

Afhankelijke gebeurtenissen

Afhankelijke gebeurtenissen zijn de resultaten van een willekeurig experiment waarvan de waarschijnlijkheid van optreden van elkaar afhankelijk is. Dat wil zeggen dat twee gebeurtenissen afhankelijk zijn als de waarschijnlijkheid dat de ene gebeurtenis plaatsvindt, de waarschijnlijkheid beïnvloedt dat de andere gebeurtenis plaatsvindt.

Het trekken van twee kaarten achter elkaar uit dezelfde stapel zijn bijvoorbeeld twee afhankelijke gebeurtenissen, aangezien de kans op „het trekken van kaart 3 met ruiten“ tijdens de tweede trekking groter is dan tijdens de eerste trekking, aangezien er één kaart minder in het spel is. . Aan de andere kant is de waarschijnlijkheid dat de kaart wordt getrokken tijdens de tweede trekking nul als deze al is getrokken tijdens de eerste trekking. De waarschijnlijkheid van het optreden van de tweede gebeurtenis hangt dus af van de uitkomst van de eerste gebeurtenis.

Tegengestelde gebeurtenis

Een tegengestelde gebeurtenis , ook wel een complementaire gebeurtenis genoemd, is de tegenovergestelde uitkomst van een bepaalde gebeurtenis in een gerandomiseerd experiment. Met andere woorden, twee gebeurtenissen zijn complementair als de ene het tegenovergestelde resultaat is van de andere.

Een heel duidelijk voorbeeld van tegengestelde gebeurtenissen kunnen we vinden in de lottrekking. De “heads” -gebeurtenis en de “heads” -gebeurtenis zijn tegengestelden omdat ze tegengestelden van elkaar zijn. Als je merkt dat wanneer een van de twee gebeurtenissen plaatsvindt, de andere niet kan gebeuren.

Gebeurteniseigenschappen

De gebeurteniseigenschappen zijn als volgt:

• De waarschijnlijkheid van een gebeurtenis is gelijk aan of kleiner dan 1.

• Als gebeurtenis A deel uitmaakt van gebeurtenis B, dan is de kans dat gebeurtenis A zich voordoet gelijk aan of kleiner dan de waarschijnlijkheid van gebeurtenis B.

• De waarschijnlijkheid van een onmogelijke gebeurtenis is altijd nul.

• Als A een gebeurtenis is die tegengesteld is aan A, is de waarschijnlijkheid van gebeurtenis A gelijk aan 1 minus de waarschijnlijkheid van gebeurtenis A.

Operaties met evenementen

In de waarschijnlijkheidstheorie zijn er drie soorten operaties met gebeurtenissen, namelijk:

• Unie van gebeurtenissen: het is de waarschijnlijkheid dat de ene of de andere gebeurtenis zal plaatsvinden.
• Snijpunt van gebeurtenissen: dit is de gezamenlijke waarschijnlijkheid van twee of meer gebeurtenissen.
• Gebeurtenisverschil: Dit is de kans dat één gebeurtenis plaatsvindt, maar een andere gebeurtenis niet tegelijkertijd.