Hoe de waarschijnlijkheid "minstens drie" succes te vinden

We kunnen de volgende algemene formule gebruiken om de waarschijnlijkheid van ten minste drie successen in een reeks pogingen te bepalen:

 P(at least 3) = 1 - P(0 successes) - P(1 success) - P(2 successes)

In de bovenstaande formule kunnen we elke waarschijnlijkheid berekenen met behulp van de volgende formule voor de binominale verdeling :

P(X=k) = _n C _k * p ^k * (1-p) ^nk

Goud:

• n: aantal pogingen
• k: aantal successen
• p: kans op succes bij een bepaalde proef
• _n C _k : het aantal manieren om k successen te behalen in n pogingen

De volgende voorbeelden laten zien hoe u deze formule kunt gebruiken om de waarschijnlijkheid van „minstens drie“ successen in verschillende scenario’s te bepalen.

Voorbeeld 1: Vrije worppogingen

Ty maakt 25% van zijn vrije worppogingen. Als hij vijf vrije worpen probeert, bepaal dan de kans dat hij er minstens drie maakt.

Laten we eerst de kans berekenen dat hij precies nul, precies één of precies twee vrije worpen maakt:

P(X=0) = ₅ C ₀ * 0,25 ⁰ * (1-0,25) ^5-0 = 1 * 1 * 0,75 ⁵ = 0,2373

P(X=1) = ₅ C ₁ * 0,25 ¹ * (1-0,25) ^5-1 = 5 * 0,25 * 0,75 ⁴ = 0,3955

P(X=2) = ₅ C ₂ * 0,25 ² * (1-0,25) ^5-2 = 10 * 0,0625 * 0,75 ³ = 0,2636

Laten we deze waarden vervolgens in de volgende formule stoppen om de waarschijnlijkheid te bepalen dat Ty minstens drie vrije worpen maakt:

• P(X≥3) = 1 – P(X=0) – P(X=1) – P(X=2)
• P(X≥3) = 1 – 0,2373 – 0,3955 – 0,2636
• P(X≥3) = 0,1036

De kans dat Ty in vijf pogingen minimaal drie vrije worpen maakt is 0,1036 .

Voorbeeld 2: Widgets

In een bepaalde fabriek is 2% van alle widgets defect. Bepaal in een willekeurige steekproef van tien widgets de kans dat ten minste twee defect zijn.

Laten we eerst de waarschijnlijkheid berekenen dat precies nul, precies één of precies twee defect zijn:

P(X=0) = ₁₀ C ₀ * 0,02 ⁰ * (1-0,02) ^10-0 = 1 * 1 * 0,98 ¹⁰ = 0,8171

P(X=1) = ₁₀ C ₁ * 0,02 ¹ * (1-0,02) ^10-1 = 10 * 0,02 * 0,98 ⁹ = 0,1667

P(X=2) = ₁₀ C ₂ * 0,02 ² * (1-0,02) ^10-2 = 45 * 0,0004 * 0,98 ⁸ = 0,0153

Laten we deze waarden vervolgens in de volgende formule invoegen om de waarschijnlijkheid te bepalen dat ten minste drie widgets defect zijn:

• P(X≥3) = 1 – P(X=0) – P(X=1) – P(X=2)
• P(X≥3) = 1 – 0,8171 – 0,1667 – 0,0153
• P(X≥3) = 0,0009

De kans dat ten minste drie widgets defect zijn in deze willekeurige steekproef van 10 is 0,0009 .

Voorbeeld 3: Trivia-vragen

Bob beantwoordt 60% van de trivia-vragen correct. Als we hem vijf trivia-vragen stellen, bepaal dan de kans dat hij er minstens drie correct beantwoordt.

Laten we eerst de waarschijnlijkheid berekenen dat hij precies nul, precies één of precies twee correct antwoordt:

P(X=0) = ₅ C ₀ * 0,60 ⁰ * (1-0,60) ^5-0 = 1 * 1 * 0,40 ⁵ = 0,01024

P(X=1) = ₅ C ₁ * 0,60 ¹ * (1-0,60) ^5-1 = 5 * 0,60 * 0,40 ⁴ = 0,0768

P(X=2) = ₅ C ₂ * 0,60 ² * (1-0,60) ^5-2 = 10 * 0,36 * 0,40 ³ = 0,2304

Laten we deze waarden vervolgens in de volgende formule stoppen om de waarschijnlijkheid te bepalen dat hij ten minste drie vragen correct beantwoordt:

• P(X≥3) = 1 – P(X=0) – P(X=1) – P(X=2)
• P(X≥3) = 1 – 0,01024 – 0,0768 – 0,2304
• P(X≥3) = 0,6826

De kans dat hij minimaal drie van de vijf vragen juist beantwoordt, is 0,6826 .

Bonus: waarschijnlijkheid van ten minste drie rekenmachines

Gebruik deze rekenmachine om automatisch de waarschijnlijkheid van „minstens drie“ successen te vinden, gebaseerd op de kans op succes in een bepaalde proef en het totale aantal pogingen.