Hoe de waarschijnlijkheid “minstens twee” succes te vinden

We kunnen de volgende algemene formule gebruiken om de waarschijnlijkheid van ten minste twee successen in een reeks pogingen te bepalen:

 P(at least two successes) = 1 - P(zero successes) - P(one success)

In de bovenstaande formule kunnen we elke waarschijnlijkheid berekenen met behulp van de volgende formule voor de binominale verdeling :

P(X=k) = _n C _k * p ^k * (1-p) ^nk

Goud:

• n: aantal pogingen
• k: aantal successen
• p: kans op succes bij een bepaalde proef
• _n C _k : het aantal manieren om k successen te behalen in n pogingen

De volgende voorbeelden laten zien hoe u deze formule kunt gebruiken om de waarschijnlijkheid van „minstens twee“ successen in verschillende scenario’s te bepalen.

Voorbeeld 1: Vrije worppogingen

Ty maakt 25% van zijn vrije worppogingen. Als hij vijf vrije worpen probeert, bepaal dan de kans dat hij er minstens twee maakt.

Laten we eerst de kans berekenen dat hij precies nul vrije worpen of precies één vrije worp maakt:

P(X=0) = ₅ C ₀ * 0,25 ⁰ * (1-0,25) ^5-0 = 1 * 1 * 0,75 ⁵ = 0,2373

P(X=1) = ₅ C ₁ * 0,25 ¹ * (1-0,25) ^5-1 = 5 * 0,25 * 0,75 ⁴ = 0,3955

Laten we deze waarden vervolgens in de volgende formule stoppen om de waarschijnlijkheid te bepalen dat Ty minstens twee vrije worpen maakt:

• P(X≥2) = 1 – P(X=0) – P(X=1)
• P(X≥2) = 1 – 0,2372 – 0,3955
• P(X≥2) = 0,3673

De kans dat Ty in vijf pogingen minimaal twee vrije worpen maakt is 0,3673 .

Voorbeeld 2: Widgets

In een bepaalde fabriek is 2% van alle widgets defect. Bepaal in een willekeurige steekproef van tien widgets de kans dat ten minste twee defect zijn.

Laten we eerst de waarschijnlijkheid berekenen dat precies nul of precies één defect is:

P(X=0) = ₁₀ C ₀ * 0,02 ⁰ * (1-0,02) ^10-0 = 1 * 1 * 0,98 ¹⁰ = 0,8171

P(X=1) = ₁₀ C ₁ * 0,02 ¹ * (1-0,02) ^10-1 = 10 * 0,02 * 0,98 ⁹ = 0,1667

Laten we deze waarden vervolgens in de volgende formule invoegen om de waarschijnlijkheid te bepalen dat ten minste twee widgets defect zijn:

• P(X≥2) = 1 – P(X=0) – P(X=1)
• P(X≥2) = 1 – 0,8171 – 0,1667
• P(X≥2) = 0,0162

De kans dat ten minste twee widgets defect zijn in deze willekeurige steekproef van 10 is 0,0162 .

Voorbeeld 3: Trivia-vragen

Bob beantwoordt 60% van de trivia-vragen correct. Als we hem vijf trivia-vragen stellen, bepaal dan de kans dat hij er minstens twee correct beantwoordt.

Laten we eerst de waarschijnlijkheid berekenen dat het antwoord precies nul of precies één is:

P(X=0) = ₅ C ₀ * 0,60 ⁰ * (1-0,60) ^5-0 = 1 * 1 * 0,40 ⁵ = 0,01024

P(X=1) = ₅ C ₁ * 0,60 ¹ * (1-0,60) ^5-1 = 5 * 0,60 * 0,40 ⁴ = 0,0768

Laten we deze waarden vervolgens in de volgende formule stoppen om de waarschijnlijkheid te bepalen dat hij ten minste twee vragen correct beantwoordt:

• P(X≥2) = 1 – P(X=0) – P(X=1)
• P(X≥2) = 1 – 0,01024 – 0,0768
• P(X≥2) = 0,91296

De kans dat hij minimaal twee van de vijf vragen juist beantwoordt, is 0,91296 .

Bonus: waarschijnlijkheidscalculator van “minstens twee”

Gebruik deze rekenmachine om automatisch de waarschijnlijkheid van „minstens twee“ successen te vinden, gebaseerd op de kans op succes in een bepaalde poging en het totale aantal pogingen.