Waarschijnlijkheids theorie

In dit artikel wordt uitgelegd wat kansrekening is en waarvoor het wordt gebruikt. Zo vind je zowel de basisconcepten van de waarschijnlijkheidstheorie als de eigenschappen en wetten van de waarschijnlijkheidstheorie.

Wat is waarschijnlijkheidstheorie?

Waarschijnlijkheidstheorie is een reeks regels en eigenschappen die worden gebruikt om de waarschijnlijkheid van een willekeurig fenomeen te berekenen. De waarschijnlijkheidstheorie stelt ons dus in staat te weten welke uitkomst van een willekeurig experiment het meest waarschijnlijk zal optreden.

Houd er rekening mee dat een willekeurig fenomeen een resultaat is dat kan worden verkregen uit een experiment waarvan de uitkomst niet kan worden voorspeld, maar afhankelijk is van toeval. De waarschijnlijkheidstheorie is daarom een reeks wetten waarmee we de waarschijnlijkheid kunnen bepalen dat een willekeurig fenomeen optreedt.

Als we bijvoorbeeld een munt opgooien, kunnen we twee mogelijke uitkomsten krijgen: kop of munt. Welnu, we kunnen de waarschijnlijkheidstheorie gebruiken om de kans op kop te berekenen, wat in dit geval 50% is.

Door de geschiedenis heen hebben veel mensen bijgedragen aan de ontwikkeling van de waarschijnlijkheidstheorie, waaronder Cardano, Laplace, Gauss en Kolmogorov.

Basisprincipes van de waarschijnlijkheidstheorie

Voorbeeldruimte

In de waarschijnlijkheidstheorie is de steekproefruimte de verzameling van alle mogelijke uitkomsten van een willekeurig experiment.

Het symbool voor de monsterruimte is de Griekse hoofdletter Omega (Ω), hoewel deze ook kan worden weergegeven door de hoofdletter E.

De voorbeeldruimte voor het gooien van een dobbelsteen is bijvoorbeeld:

Evenement

In de waarschijnlijkheidstheorie is een gebeurtenis (of gebeurtenis) elke mogelijke uitkomst van een willekeurig experiment. Daarom is de waarschijnlijkheid van een gebeurtenis een waarde die de waarschijnlijkheid aangeeft dat een uitkomst optreedt.

Bij het opgooien van munten zijn er bijvoorbeeld twee gebeurtenissen: ‚kop‘ en ‚munt‘.

Er zijn verschillende soorten evenementen:

• Elementaire gebeurtenis (of eenvoudige gebeurtenis): elk van de mogelijke resultaten van het experiment.
• Samengestelde gebeurtenis: dit is een subset van de voorbeeldruimte.
• Bepaalde gebeurtenis: dit is het resultaat van een willekeurige ervaring die altijd zal plaatsvinden.
• Onmogelijke gebeurtenis: dit is het resultaat van een willekeurig experiment dat nooit zal gebeuren.
• Compatibele evenementen: twee evenementen zijn compatibel als ze een elementaire gebeurtenis gemeen hebben.
• Incompatibele gebeurtenissen: twee gebeurtenissen zijn incompatibel als ze geen enkele elementaire gebeurtenis delen.
• Onafhankelijke gebeurtenissen: twee gebeurtenissen zijn onafhankelijk als de waarschijnlijkheid dat de ene plaatsvindt, de waarschijnlijkheid van de andere niet beïnvloedt.
• Afhankelijke gebeurtenissen: Twee gebeurtenissen zijn afhankelijk als de waarschijnlijkheid dat de ene plaatsvindt, de waarschijnlijkheid dat de andere plaatsvindt, verandert.
• Gebeurtenis die in strijd is met een andere: die gebeurtenis die plaatsvindt wanneer de andere gebeurtenis niet plaatsvindt.

Axioma’s van waarschijnlijkheid

De axioma’s van waarschijnlijkheid zijn:

1. Waarschijnlijkheidsaxioma 1 : De waarschijnlijkheid van een gebeurtenis kan niet negatief zijn.



2. Waarschijnlijkheidsaxioma 2 : De waarschijnlijkheid van een bepaalde gebeurtenis is 1.



3. Waarschijnlijkheidsaxioma 3 : De waarschijnlijkheid van een reeks onverenigbare gebeurtenissen is gelijk aan de som van alle waarschijnlijkheden.

Waarschijnlijkheidseigenschappen

De waarschijnlijkheidseigenschappen zijn:

1. De waarschijnlijkheid van één gebeurtenis is gelijk aan één minus de waarschijnlijkheid van de tegengestelde gebeurtenis.



2. De waarschijnlijkheid van een onmogelijke gebeurtenis is altijd nul.



3. Als een gebeurtenis deel uitmaakt van een andere gebeurtenis, moet de waarschijnlijkheid van de eerste gebeurtenis kleiner zijn dan of gelijk zijn aan de waarschijnlijkheid van de tweede gebeurtenis.



4. De waarschijnlijkheid dat twee gebeurtenissen samenkomen is gelijk aan de som van de waarschijnlijkheid dat elke gebeurtenis afzonderlijk plaatsvindt minus de waarschijnlijkheid dat ze elkaar kruisen.



5. Gegeven een reeks van twee bij twee onverenigbare gebeurtenissen, wordt hun gezamenlijke waarschijnlijkheid berekend door de waarschijnlijkheid van het optreden van elke gebeurtenis op te tellen.



6. De som van de kansen van alle elementaire gebeurtenissen in een steekproefruimte is gelijk aan 1.

Waarschijnlijkheidsregels

De regel van Laplace

De regel van Laplace is een probabilistische regel die wordt gebruikt om de waarschijnlijkheid te berekenen dat een gebeurtenis plaatsvindt in een steekproefruimte.

Meer specifiek zegt de regel van Laplace dat de waarschijnlijkheid dat een gebeurtenis plaatsvindt gelijk is aan het aantal gunstige gevallen gedeeld door het totale aantal mogelijke gevallen. De formule voor de regel van Laplace is daarom als volgt:

Als we bijvoorbeeld 5 groene ballen, 4 blauwe ballen en 2 gele ballen in een zak stoppen, kunnen we de kans berekenen dat we willekeurig een groene bal trekken met behulp van de regel van Laplace:

somregel

In de waarschijnlijkheidstheorie zegt de somregel (of optellingsregel) dat de som van de kansen van twee gebeurtenissen gelijk is aan de som van de waarschijnlijkheid dat elke gebeurtenis afzonderlijk plaatsvindt minus de waarschijnlijkheid dat beide gebeurtenissen tegelijkertijd plaatsvinden. tijd. .

De formule voor de optelregel is dus als volgt:

De opgeloste stapsgewijze oefeningen van de toepassing van de optelregel kun je zien in de volgende link:

vermenigvuldigingsregel

De vermenigvuldigingsregel (of productregel) zegt dat de gezamenlijke waarschijnlijkheid dat twee onafhankelijke gebeurtenissen plaatsvinden gelijk is aan het product van de waarschijnlijkheid dat elke gebeurtenis plaatsvindt.

De formule voor de vermenigvuldigingsregel is daarom als volgt:

De formule voor de vermenigvuldigingsregel varieert echter afhankelijk van het feit of de gebeurtenissen onafhankelijk of afhankelijk zijn. U kunt zien wat de formule voor de vermenigvuldigingsregel voor afhankelijke gebeurtenissen is en voorbeelden van het toepassen van deze regel door hier te klikken: