Wet van de grote aantallen

In dit artikel leggen we uit wat de wet van de grote getallen is en waarvoor deze wordt gebruikt in de kansrekening en de statistiek. Je zult ook een voorbeeld kunnen zien van de toepassing van de wet van de grote getallen en bovendien wat de relatie is tussen deze wet en de centrale limietstelling.

Wat is de wet van grote getallen?

In de waarschijnlijkheidstheorie is de wet van de grote getallen een regel die het resultaat beschrijft van een groot aantal keren doen. Meer specifiek zegt de wet van de grote getallen dat het gemiddelde van de resultaten verkregen uit een groot aantal onderzoeken dicht bij de verwachte waarde zal liggen.

Bovendien geldt volgens de wet van de grote getallen: hoe meer experimenten we doen, hoe dichter de resultaten bij de verwachte waarde zullen liggen.

Als we bijvoorbeeld vijf keer een munt opgooien, kunnen we maar één keer kop krijgen (20%). Als de munt echter meerdere keren wordt gegooid (meer dan 1000 keer gooien), zal bijna de helft van de resultaten kop zijn (50%), aangezien dit de verwachte waarde is. Dit is een voorbeeld van de wet van de grote getallen.

De oorsprong van de wet van de grote getallen ligt in de 16e eeuw bij Gerolamo Cardano, maar door de geschiedenis heen hebben veel auteurs deelgenomen aan de ontwikkeling van deze statistische wet: Bernoulli, Poisson, Chebyshev, Markov, Borel, Cantelli, Kolmogorov en Khinchin.

Voorbeeld van de wet van de grote getallen

Nadat we de definitie van de wet van de grote getallen hebben gezien, zullen we een concreet voorbeeld zien om de betekenis ervan beter te begrijpen. In dit geval analyseren we de waarschijnlijkheid van de mogelijke resultaten die we kunnen verkrijgen door een dobbelsteen te gooien.

Er zijn zes mogelijke uitkomsten bij het gooien van een dobbelsteen (1, 2, 3, 4, 5 en 6), dus de theoretische waarschijnlijkheid van elke elementaire gebeurtenis is:

We zullen de lancering dus meerdere keren simuleren en de resultaten vastleggen in een frequentietabel om te controleren of de wet van de grote aantallen wordt gerespecteerd.

Om het belang van het aantal uitgevoerde experimenten te kunnen zien, zullen we eerst tien lanceringen simuleren, daarna honderd en ten slotte duizend. De resultaten verkregen uit de simulatie van 10 willekeurige dobbelsteenworpen zijn dus als volgt:

Zoals u kunt zien, lijken de frequentiekansen die worden verkregen door het simuleren van slechts tien worpen niet op de theoretische kansen.

Maar naarmate we het aantal experimenten vergroten, gaan deze twee statistieken meer op elkaar lijken, kijk eens naar de simulatie van 100 lanceringen:

Nu komt de frequentiewaarschijnlijkheid die voor elk getal op de dobbelsteen wordt berekend meer overeen met de theoretische waarschijnlijkheid, maar we krijgen nog steeds heel verschillende waarden.

Ten slotte voeren we dezelfde procedure uit, maar simuleren we 1000 lanceringen:

Zoals we in de laatste tabel kunnen zien, liggen de waarden van de frequentiekansen nu heel dicht bij de theoretische kansen.

Samenvattend: hoe meer we het aantal uitgevoerde experimenten vergroten, hoe meer de waarde van de frequentiewaarschijnlijkheid van een gebeurtenis de theoretische waarschijnlijkheid van optreden benadert. Daarom wordt de wet van de grote getallen gerespecteerd, want hoe meer iteraties we uitvoeren, hoe meer de experimentele waarden lijken op de theoretische waarden.

Beperking van de wet van de grote getallen

De wet van de grote getallen geldt in de overgrote meerderheid van de gevallen, maar bepaalde soorten kansverdelingen voldoen niet aan deze statistische stelling.

De Cauchy-verdeling of de Pareto-verdeling (α<1) convergeren bijvoorbeeld niet naarmate het aantal pogingen toeneemt. Dit komt door de grote staarten van de verdelingen, waardoor ze geen verwachte waarde hebben.

Aan de andere kant zijn sommige experimenten vertekend vanwege hun kenmerken, zodat de onderzoeker de neiging heeft om de resultaten (al dan niet opzettelijk) te wijzigen voor rationeel, psychologisch, economisch, enz. redenen. In deze gevallen helpt de wet van de grote aantallen de vertekening niet op te lossen, maar de vertekening zal blijven bestaan, ongeacht het aantal pogingen.

Wet van de grote getallen en centrale limietstelling

De wet van de grote getallen en de centrale limietstelling zijn twee nauw verwante fundamentele regels van waarschijnlijkheid en statistiek. Dus in deze sectie zullen we zien wat hun relatie is en wat hun verschil is.

De centrale limietstelling, ook wel de centrale limietstelling genoemd, zegt dat de verdeling van de steekproefgemiddelden een normale verdeling benadert naarmate de steekproefomvang toeneemt, ongeacht de waarschijnlijkheidsverdeling van de populatie.

Het verschil tussen de wet van de grote getallen en de centrale limietstelling is dat de wet van de grote getallen zegt dat het gemiddelde van een groot aantal pogingen dicht bij de verwachte waarde ligt, maar de centrale limietstelling zegt dat het gemiddelde van veel van de steekproeven benaderen een normale verdeling.