Wet van de totale waarschijnlijkheid: definitie en voorbeelden

In de waarschijnlijkheidstheorie is de wet van de totale waarschijnlijkheid een nuttige manier om de waarschijnlijkheid van een gebeurtenis A te vinden als we de waarschijnlijkheid van A niet direct kennen, maar we weten dat de gebeurtenissen B ₁ , B ₂ , B ₃ … een partitie vormen. van de monsterruimte S.

Deze wet specificeert het volgende:

De wet van de totale waarschijnlijkheid

Als B ₁ , B ₂ , B ₃ … een partitie vormen van de monsterruimte S , dan kunnen we de waarschijnlijkheid van gebeurtenis A als volgt berekenen:

P( EEN ) = ΣP( A | B _ik )*P( B _ik )

De eenvoudigste manier om deze wet te begrijpen is door een eenvoudig voorbeeld te nemen.

Stel dat er in een doos twee zakjes zitten met daarin de volgende knikkers:

• Zakje 1: 7 rode knikkers en 3 groene knikkers
• Zak 2: 2 rode knikkers en 8 groene knikkers

Als we willekeurig een van de zakjes selecteren en vervolgens willekeurig een knikker uit dat zakje kiezen, wat is dan de kans dat het een groene knikker is?

Laat in dit voorbeeld P( G ) = de kans dat je een groene knikker kiest. Het is de waarschijnlijkheid die ons interesseert, maar we kunnen deze niet rechtstreeks berekenen.

In plaats daarvan moeten we de voorwaardelijke waarschijnlijkheid van G gebruiken, gegeven een gebeurtenis B waarbij de Bi een partitie _vormt van de steekproefruimte S. In dit voorbeeld hebben we de volgende voorwaardelijke kansen:

• P(G| _B1 ) = 3/10 = 0,3
• P(G| _B2 ) = 8/10 = 0,8

Met behulp van de wet van de totale waarschijnlijkheid kunnen we dus de waarschijnlijkheid van het kiezen van een groene knikker als volgt berekenen:

• P(G) = ΣP(G|B _ik )*P(B _ik )
• P(G) = P(G|B ₁ )*P(B ₁ ) + P(G|B ₂ )*P(B ₂ )
• P(G) = (0,3)*(0,5) + (0,8)*(0,5)
• P(G) = 0,55

Als we willekeurig één van de zakjes selecteren, en vervolgens willekeurig een knikker uit dat zakje kiezen, is de kans dat we een groene knikker kiezen 0,55 .

Lees de volgende twee voorbeelden om uw begrip van de wet van de totale waarschijnlijkheid te versterken.

Voorbeeld 1: Widgets

Bedrijf A levert 80% van de widgets aan een autowerkplaats en slechts 1% van de widgets blijkt defect te zijn. Bedrijf B levert de resterende 20% van de widgets aan de autoreparatiewerkplaats en 3% van zijn widgets blijkt defect te zijn.

Als een klant willekeurig een widget bij een autoreparatiewerkplaats koopt, hoe groot is dan de kans dat deze defect is?

Als we P( D ) = de kans dat een widget defect is en P(B _i ) de kans dat de widget afkomstig is van een van de bedrijven, dan kunnen we de kans op aankoop van een defecte widget als volgt berekenen:

• P(D) = ΣP(D|B _ik )*P(B _ik )
• P(D) = P(D|B ₁ )*P(B ₁ ) + P(D|B ₂ )*P(B ₂ )
• P(D) = (0,01)*(0,80) + (0,03)*(0,20)
• P(D) = 0,014

Als we willekeurig een widget uit deze autowinkel kopen, is de kans dat deze defect is 0,014 .

Voorbeeld 2: Bossen

Bos A beslaat 50% van de totale oppervlakte van een bepaald park en 20% van de planten in dit bos is giftig. Bos B beslaat 30% van de totale oppervlakte en 40% van de planten die het bevat zijn giftig. Forest C beslaat de resterende 20% van het grondgebied en 70% van de daar aangetroffen planten zijn giftig.

Als we willekeurig dit park binnenlopen en een plant van de grond plukken, hoe waarschijnlijk is het dan dat deze giftig is?

Als we P( P ) = de kans dat de plant giftig is, en P(B _i ) de kans dat we een van de drie bossen zijn binnengegaan, dan kunnen we de kans berekenen dat een willekeurig gekozen plant giftig is, zoals:

• P(P) = ΣP(P|B _ik )*P(B _ik )
• P(P) = P(P|B ₁ )*P(B ₁ ) + P(P|B ₂ )*P(B ₂ ) + P(P|B ₃ )*P(B ₃ )
• P(P) = (0,20)*(0,50) + (0,40)*(0,30) + (0,70)*(0,20)
• P(P) = 0,36

Als we willekeurig een plant uit de grond kiezen, is de kans dat deze giftig is 0,36 .

Aanvullende bronnen

De volgende tutorials bieden aanvullende informatie over waarschijnlijkheidsonderwerpen:

Hoe het gemiddelde van een kansverdeling te vinden
Hoe de standaarddeviatie van een kansverdeling te vinden
Kansverdelingscalculator