Wiskundige verwachting (of verwachte waarde)

Von Dr.benjamin anderson August 5, 2023 Waarschijnlijkheid Keine Kommentare

In dit artikel wordt uitgelegd wat de wiskundige verwachting (of verwachte waarde) van een willekeurige variabele is en hoe je deze kunt berekenen. Je zult een opgeloste oefening van wiskundige hoop vinden. Bovendien kunt u de verwachte waarde van elke dataset vinden met een online rekenmachine.

Wat is wiskundige verwachting (of verwachte waarde)?

In de statistiek is verwachting , ook wel verwachte waarde genoemd, een getal dat de gemiddelde waarde van een willekeurige variabele vertegenwoordigt. De wiskundige verwachting is gelijk aan de som van alle producten gevormd door de waarden van willekeurige gebeurtenissen en hun respectieve waarschijnlijkheid van optreden.

Het symbool voor verwachting is de hoofdletter E. De verwachting van de statistische variabele X wordt bijvoorbeeld weergegeven door E(X).

Op dezelfde manier valt de waarde van de wiskundige verwachting van een dataset samen met het gemiddelde ervan (populatiegemiddelde).

Hoe wiskundige verwachtingen te berekenen

Om de wiskundige verwachting van een discrete variabele te berekenen, moeten de volgende stappen worden gevolgd:

Vermenigvuldig elke mogelijke gebeurtenis met de waarschijnlijkheid dat deze zich voordoet.
Tel alle resultaten op die u in de vorige stap hebt verkregen.
De verkregen waarde is de wiskundige verwachting (of verwachte waarde) van de variabele.

De formule voor het berekenen van de wiskundige verwachting (of verwachte waarde) van een discrete variabele is dus als volgt:

👉 U kunt de onderstaande rekenmachine gebruiken om de verwachte waarde van elke dataset te berekenen.

Merk op dat de bovenstaande formule alleen kan worden gebruikt als de willekeurige variabele discreet is (in de meeste gevallen). Maar als de variabele continu is, moeten we de volgende formule gebruiken om de wiskundige verwachting te verkrijgen:

$\displaystyle E(X)=\int_\mathbb{R} x\cdot f_x(x) dx$

Goud

$f_x$

is de dichtheidsfunctie van de continue variabele

voorbeeld van wiskundige verwachting

Gezien de definitie van verwachting (of verwachtingswaarde) vindt u hieronder een concreet voorbeeld, zodat u kunt zien hoe de berekening in zijn werk gaat.

Een persoon neemt deel aan een spel waarin hij of zij geld kan winnen of verliezen op basis van het getal dat verschijnt bij het gooien van een dobbelsteen. Als er een 1 gooit, wint u $800, als er een 2 of 3 wordt gegooid, verliest u $500 en als er een 4, 5 of 6 wordt gegooid, wint u $100. De prijs voor deelname bedraagt 50,-. Zou u deelname aan dit waarschijnlijkheidsspel aanbevelen?

Het eerste dat u moet doen, is de waarschijnlijkheid van elke gebeurtenis bepalen. Omdat een dobbelsteen zes gezichten heeft, is de kans dat je een willekeurig getal gooit:

$p(\text{obtener un n\'umero})=\cfrac{1}{6}$

De waarschijnlijkheid van optreden van elke gebeurtenis is daarom:

$p(\text{ganar }\$800)=\cfrac{1}{6}$

$p(\text{perder }\$500)=2\cdot \cfrac{1}{6}=\cfrac{2}{6}$

$p(\text{ganar }\$100)=3\cdot \cfrac{1}{6}=\cfrac{3}{6}$

Nu we de waarschijnlijkheid kennen dat elke gebeurtenis plaatsvindt, passen we de wiskundige formule voor de verwachting toe:

$\displaystyle E(X)=\sum_{i=1}^nx_i\cdot p_i$

En we berekenen de wiskundige verwachting (of verwachte waarde):

$E(X)=800\cdot\cfrac{1}{6}-500\cdot \cfrac{2}{6}+100\cdot\cfrac{3}{6}=\$16,67$

De verwachte waarde is lager dan de prijs van deelname aan dit spel, dus het is beter om niet te spelen, omdat je op de lange termijn uiteindelijk geld verliest. Het kan zijn dat als u pas meedoet als deze 1 bereikt, u een grote winst maakt, maar de kans op verliezen op de lange termijn is groot.

Opgemerkt moet worden dat het resultaat van wiskundige verwachtingen soms een onmogelijke waarde is; in dit geval kan bijvoorbeeld $ 16,67 niet worden verkregen.

Verwachtingscalculator

Voer een reeks statistische gegevens in de volgende rekenmachine in om de verwachte waarde te berekenen. U moet in het eerste vakje de waarde van elke gebeurtenis en in het tweede vakje de waarschijnlijkheid van optreden in dezelfde volgorde invullen.

Gegevens moeten worden gescheiden door een spatie en moeten worden ingevoerd met de punt als decimaal scheidingsteken.

Eigenschappen van wiskundige verwachting

De eigenschappen van wiskundige verwachtingen zijn als volgt:

De wiskundige verwachting van een constante is zichzelf.

$E(k)=k$

De verwachting van een willekeurige variabele vermenigvuldigd met een scalair is gelijk aan de verwachting van deze variabele vermenigvuldigd met deze scalair.

$E(k\cdot X)=k\cdot E(X)$

De wiskundige verwachting van de som van twee variabelen is gelijk aan de som van de wiskundige verwachtingen van elke variabele.

$E(X+Y)=E(X)+E(Y)$

Over het algemeen levert het vermenigvuldigen van twee variabelen een andere wiskundige verwachting op. Het resultaat is alleen hetzelfde als de variabelen onafhankelijk zijn.

$E(X\cdot Y)\neq E(X)\cdot E(Y)$

Als alle waarden van een variabele groter dan of gelijk aan nul zijn, dan is de wiskundige verwachting van die variabele ook positief of gelijk aan nul.

$X\geq 0 \ \longrightarrow \ E(X)\geq 0$

Als alle waarden van de ene variabele kleiner zijn dan alle waarden van een andere variabele, hebben de verwachtingen van de twee variabelen dezelfde relatie.

$X\leq Y \ \longrightarrow \ E(X)\leq E(Y)$

Als we weten dat een variabele wordt beperkt door twee waarden, is de wiskundige verwachting ervan logischerwijs ook beperkt.

$a <ul> <li> Si une variable est la combinaison linéaire d’une autre variable, ses attentes mathématiques satisfont à la même relation algébrique : </li> </ul> <p>[latex]Y=a+bX \ \longrightarrow \ E(Y)=a+b\cdot E(X)“ title=“Rendered by QuickLaTeX.com“ height=“41″ width=“1116″ style=“vertical-align: -5px;“></p> </p> <h2 class=$ Waar wordt wiskundige verwachting voor gebruikt?

In dit laatste deel zullen we dieper ingaan op de betekenis van wiskundige hoop. Concreet zullen we zien waarvoor deze statistische maatstaf wordt gebruikt en zo het concept beter begrijpen.

Wiskundige verwachting (of verwachte waarde) wordt gebruikt om een waarde te hebben van het bedrag dat naar verwachting op de lange termijn zal worden gewonnen of verloren in een probabilistische ruimte. Met andere woorden: de wiskundige verwachting geeft het rendement aan dat op de lange termijn zal worden behaald.

Wanneer iemand overweegt een investering te doen, zoals het kopen van aandelen van een bedrijf, is een van de parameters waarmee rekening moet worden gehouden de wiskundige verwachting. Want als u deze investering meerdere keren zou doen, zou het economische rendement dat u zou behalen de waarde van de wiskundige verwachting zijn. Het kan worden beschouwd als een gemiddelde van de verkregen voordelen.

Op dezelfde manier worden wiskundige verwachtingen ook gebruikt op andere gebieden, zoals econometrie, kwantumfysica, handel en zelfs biologie.

Über den Autor

Dr.benjamin anderson

Ik ben Benjamin, een gepensioneerde hoogleraar statistiek die nu een toegewijde Statorials-lesgever is. Ik heb uitgebreide ervaring en expertise op het gebied van statistiek en ik ben vastbesloten om mijn kennis te delen met studenten via Statorials. Lees verder