Een kansverdeling<\/strong> is een functie die de waarschijnlijkheid definieert dat elke waarde van een willekeurige variabele<\/a> voorkomt. Simpel gezegd is een kansverdeling een wiskundige functie die de waarschijnlijkheid van alle mogelijke uitkomsten van een willekeurig experiment beschrijft.<\/p>\n Laat bijvoorbeeld<\/p>\n Daarom worden kansverdelingen vaak gebruikt in de waarschijnlijkheidstheorie en statistiek, omdat ze worden gebruikt om de waarschijnlijkheid van verschillende gebeurtenissen in een steekproefruimte<\/a> te berekenen. <\/p>\n Kansverdelingen kunnen in twee brede typen worden verdeeld: discrete verdelingen en continue verdelingen.<\/p>\n Een discrete kansverdeling<\/strong> is de verdeling die de kansen van een discrete willekeurige variabele definieert. Daarom kan een discrete kansverdeling slechts een eindig aantal waarden aannemen (meestal gehele waarden). <\/p>\n Discrete uniforme verdeling<\/strong> is een discrete kansverdeling waarin alle waarden gelijkwaardig zijn, dat wil zeggen dat in een discrete uniforme verdeling alle waarden dezelfde waarschijnlijkheid hebben om te voorkomen.<\/p>\n De worp van een dobbelsteen kan bijvoorbeeld worden gedefinieerd met een discrete uniforme verdeling, aangezien alle mogelijke uitkomsten (1, 2, 3, 4, 5 of 6) dezelfde waarschijnlijkheid van voorkomen hebben.<\/p>\n Over het algemeen heeft een discrete uniforme verdeling twee karakteristieke parameters, a<\/em> en b<\/em> , die het bereik van mogelijke waarden defini\u00ebren die de verdeling kan aannemen. Wanneer een variabele dus wordt gedefinieerd door een discrete uniforme verdeling, wordt deze geschreven Uniform(a,b)<\/em> .<\/p>\n<\/p>\n De discrete uniforme verdeling kan worden gebruikt om willekeurige experimenten te beschrijven, want als alle uitkomsten dezelfde waarschijnlijkheid hebben, betekent dit dat het experiment willekeurig is. <\/p>\n De Bernoulli-verdeling<\/strong> , ook bekend als de dichotome verdeling<\/strong> , is een kansverdeling die een discrete variabele vertegenwoordigt die slechts twee uitkomsten kan hebben: „succes“ of „mislukking“.<\/p>\n In de Bernoulli-verdeling is ’succes‘ de uitkomst die we verwachten en heeft deze de waarde 1, terwijl de uitkomst van ‚mislukking‘ een andere uitkomst is dan de verwachte en de waarde 0 heeft. Dus als de waarschijnlijkheid van de uitkomst ‚ succes\u201d is p<\/em> , de waarschijnlijkheid van de uitkomst van \u201cmislukking\u201d is q=1-p<\/em> .<\/p>\n<\/p>\n De Bernoulli-verdeling is vernoemd naar de Zwitserse statisticus Jacob Bernoulli.<\/p>\n In de statistiek heeft de Bernoulli-verdeling hoofdzakelijk \u00e9\u00e9n toepassing: het defini\u00ebren van de waarschijnlijkheden van experimenten waarbij er slechts twee mogelijke uitkomsten zijn: succes en mislukking. Een experiment dat de Bernoulli-verdeling gebruikt, wordt dus een Bernoulli-test of Bernoulli-experiment genoemd. <\/p>\n De binomiale verdeling<\/strong> , ook wel de binomiale verdeling<\/strong> genoemd, is een kansverdeling die het aantal successen telt bij het uitvoeren van een reeks onafhankelijke, dichotome experimenten met een constante kans op succes. Met andere woorden: de binomiale verdeling is een verdeling die het aantal succesvolle uitkomsten van een reeks Bernoulli-proeven beschrijft.<\/p>\n Het aantal keren dat er „kop“ verschijnt bij het 25 keer opgooien van een munt is bijvoorbeeld een binominale verdeling.<\/p>\n Over het algemeen wordt het totale aantal uitgevoerde experimenten gedefinieerd met de parameter n<\/em> , terwijl p<\/em> de kans op succes van elk experiment is. Een willekeurige variabele die een binominale verdeling volgt, wordt dus als volgt geschreven:<\/p>\n<\/p>\n Merk op dat in een binominale verdeling exact hetzelfde experiment n<\/em> keer wordt herhaald en dat de experimenten onafhankelijk van elkaar zijn, dus de kans op succes van elk experiment is hetzelfde (p)<\/em> . <\/p>\n De Poisson-verdeling<\/strong> is een waarschijnlijkheidsverdeling die de waarschijnlijkheid definieert dat een bepaald aantal gebeurtenissen gedurende een bepaalde periode plaatsvindt. Met andere woorden: de Poisson-verdeling wordt gebruikt om willekeurige variabelen te modelleren die het aantal keren beschrijven dat een fenomeen zich binnen een tijdsinterval herhaalt.<\/p>\n Het aantal oproepen dat een telefooncentrale per minuut ontvangt, is bijvoorbeeld een discrete willekeurige variabele die kan worden gedefinieerd met behulp van de Poisson-verdeling.<\/p>\n De Poisson-verdeling heeft een karakteristieke parameter, weergegeven door de Griekse letter \u03bb, en geeft aan hoe vaak de bestudeerde gebeurtenis naar verwachting zal plaatsvinden tijdens een bepaald interval. <\/p>\n<\/p>\n De multinomiale verdeling<\/strong> (of multinomiale verdeling<\/strong> ) is een waarschijnlijkheidsverdeling die de waarschijnlijkheid beschrijft dat verschillende elkaar uitsluitende gebeurtenissen na verschillende pogingen een bepaald aantal keren voorkomen.<\/p>\n Dat wil zeggen, als een willekeurig experiment kan resulteren in drie of meer exclusieve gebeurtenissen en de waarschijnlijkheid dat elke gebeurtenis afzonderlijk plaatsvindt bekend is, wordt de multinomiale verdeling gebruikt om de waarschijnlijkheid te berekenen dat wanneer meerdere experimenten worden uitgevoerd, een bepaald aantal gebeurtenissen plaatsvindt. keer elke keer.<\/p>\n De multinomiale verdeling is daarom een generalisatie van de binominale verdeling. <\/p>\n De geometrische verdeling<\/strong> is een waarschijnlijkheidsverdeling die het aantal Bernoulli-pogingen definieert dat nodig is om het eerste succesvolle resultaat te verkrijgen. Dat wil zeggen, een geometrische verdeling modelleert processen waarin Bernoulli-experimenten worden herhaald totdat een van hen een positief resultaat verkrijgt.<\/p>\n Het aantal auto’s dat op een snelweg passeert totdat ze een gele auto zien, is bijvoorbeeld een geometrische verdeling.<\/p>\n Bedenk dat een Bernoulli-test een experiment is dat twee mogelijke uitkomsten heeft: ’succes‘ en ‚mislukking‘. Dus als de kans op \u2018succes\u2019 p<\/em> is, is de kans op \u2018mislukking\u2019 q=1-p<\/em> .<\/p>\n De geometrische verdeling hangt daarom af van de parameter p<\/em> , de kans op succes van alle uitgevoerde experimenten. Bovendien is de waarschijnlijkheid p<\/em> voor alle experimenten hetzelfde. <\/p>\n<\/p>\n De negatieve binomiale verdeling<\/strong> is een waarschijnlijkheidsverdeling die het aantal Bernoulli-proeven beschrijft dat nodig is om een bepaald aantal positieve resultaten te verkrijgen.<\/p>\n Daarom heeft een negatieve binomiale verdeling twee karakteristieke parameters: r<\/em> is het aantal gewenste succesvolle uitkomsten en p<\/em> is de kans op succes voor elk uitgevoerd Bernoulli-experiment.<\/p>\n<\/p>\n Een negatieve binominale verdeling definieert dus een proces waarin zoveel Bernoulli-proeven worden uitgevoerd als nodig is om positieve resultaten<\/em> te verkrijgen. Bovendien zijn al deze Bernoulli-proeven onafhankelijk en hebben ze een constante kans op succes<\/em> .<\/p>\n Een willekeurige variabele die een negatieve binominale verdeling volgt, is bijvoorbeeld het aantal keren dat een dobbelsteen moet worden gegooid totdat het getal 6 drie keer wordt gegooid. <\/p>\n De hypergeometrische verdeling<\/strong> is een waarschijnlijkheidsverdeling die het aantal succesvolle gevallen beschrijft in een willekeurige extractie zonder vervanging van n<\/em> elementen uit een populatie.<\/p>\n Dat wil zeggen dat de hypergeometrische verdeling wordt gebruikt om de waarschijnlijkheid te berekenen van het verkrijgen van x<\/em> successen bij het extraheren van n<\/em> elementen uit een populatie zonder een van deze te vervangen.<\/p>\n Daarom heeft de hypergeometrische verdeling drie parameters:<\/p>\n Een continue kansverdeling<\/strong> is een kansverdeling die elke waarde in een interval kan aannemen, inclusief decimale waarden. Daarom definieert een continue kansverdeling de kansen van een continue willekeurige variabele. <\/p>\n De continue uniforme verdeling<\/strong> , ook wel de rechthoekige verdeling<\/strong> genoemd, is een soort continue kansverdeling waarbij alle waarden dezelfde kans hebben om te verschijnen. Met andere woorden: de continue uniforme verdeling is een verdeling waarbij de waarschijnlijkheid uniform verdeeld is over een interval.<\/p>\n De continue uniforme verdeling wordt gebruikt om continue variabelen te beschrijven die een constante waarschijnlijkheid hebben. Op dezelfde manier wordt continue uniforme verdeling gebruikt om willekeurige processen te defini\u00ebren, omdat als alle uitkomsten dezelfde waarschijnlijkheid hebben, dit betekent dat er willekeur in de uitkomst zit.<\/p>\n De continue uniforme verdeling heeft twee karakteristieke parameters, a<\/em> en b<\/em> , die het equiprobabiliteitsinterval defini\u00ebren. Het symbool voor de continue uniforme verdeling is dus U(a,b)<\/em> , waarbij a<\/em> en b<\/em> de karakteristieke waarden van de verdeling zijn.<\/p>\n<\/p>\n Als de uitkomst van een willekeurig experiment bijvoorbeeld elke waarde tussen 5 en 9 kan aannemen en alle mogelijke uitkomsten dezelfde waarschijnlijkheid hebben om te voorkomen, kan het experiment worden gesimuleerd met een continue uniforme verdeling U(5.9). <\/p>\n De normale verdeling<\/strong> is een continue kansverdeling waarvan de grafiek klokvormig is en symmetrisch ten opzichte van het gemiddelde. In de statistiek wordt de normale verdeling gebruikt om verschijnselen met zeer verschillende kenmerken te modelleren. Daarom is deze verdeling zo belangrijk.<\/p>\n In feite wordt de normale verdeling in de statistiek beschouwd als verreweg de belangrijkste verdeling van alle waarschijnlijkheidsverdelingen, omdat deze niet alleen een groot aantal verschijnselen uit de echte wereld kan modelleren, maar de normale verdeling ook kan worden gebruikt om andere typen kansverdelingen te benaderen. distributies. onder bepaalde omstandigheden.<\/p>\n Het symbool voor normale verdeling is de hoofdletter N. Om aan te geven dat een variabele een normale verdeling volgt, wordt deze aangegeven met de letter N en worden de waarden van het rekenkundig gemiddelde en de standaarddeviatie tussen haakjes toegevoegd.<\/p>\n<\/p>\n De normale verdeling heeft veel verschillende namen, waaronder Gaussische verdeling<\/strong> , Gaussische verdeling<\/strong> en Laplace-Gauss-verdeling<\/strong> . <\/p>\n De lognormale verdeling<\/strong> , of lognormale verdeling<\/strong> , is een kansverdeling die een willekeurige variabele definieert waarvan de logaritme een normale verdeling volgt.<\/p>\n Als de variabele X dus een normale verdeling heeft, heeft de exponenti\u00eble functie ex x<\/sup> een lognormale verdeling.<\/p>\n<\/p>\n Merk op dat de lognormale verdeling alleen kan worden gebruikt als de waarden van de variabele positief zijn, aangezien de logaritme een functie is die slechts \u00e9\u00e9n positief argument accepteert.<\/p>\n Onder de verschillende toepassingen van de lognormale verdeling in de statistiek onderscheiden we het gebruik van deze verdeling om financi\u00eble investeringen te analyseren en betrouwbaarheidsanalyses uit te voeren.<\/p>\n De lognormale verdeling is ook bekend als de Tinaut-verdeling<\/strong> , soms ook geschreven als de lognormale verdeling<\/strong> of log-normale verdeling<\/strong> . <\/p>\n De Chi-kwadraatverdeling<\/strong> is een kansverdeling waarvan het symbool \u03c7\u00b2 is. Preciezer gezegd: de Chi-kwadraatverdeling is de som van het kwadraat van k<\/em> onafhankelijke willekeurige variabelen met een normale verdeling.<\/p>\n De Chi-kwadraatverdeling heeft dus k<\/em> vrijheidsgraden. Daarom heeft een Chi-kwadraatverdeling evenveel vrijheidsgraden als de som van de kwadraten van de normaal verdeelde variabelen die deze vertegenwoordigt.<\/p>\n<\/p>\n De Chi-kwadraatverdeling wordt ook wel de Pearson-verdeling<\/strong> genoemd.<\/p>\n De chikwadraatverdeling wordt veel gebruikt bij statistische gevolgtrekkingen, bijvoorbeeld bij het testen van hypothesen en betrouwbaarheidsintervallen. We zullen hieronder zien wat de toepassingen zijn van dit type kansverdeling. <\/p>\n De Student’s t-verdeling<\/strong> is een kansverdeling die veel wordt gebruikt in de statistiek. Concreet wordt de Student’s t-verdeling gebruikt in de Student’s t-test om het verschil tussen de gemiddelden van twee steekproeven te bepalen en om betrouwbaarheidsintervallen vast te stellen.<\/p>\n De Student’s t-verdeling werd in 1908 ontwikkeld door statisticus William Sealy Gosset onder het pseudoniem „Student“.<\/p>\n De t-verdeling van de Student wordt gedefinieerd door het aantal vrijheidsgraden, verkregen door \u00e9\u00e9n eenheid af te trekken van het totale aantal waarnemingen. Daarom is de formule voor het bepalen van de vrijheidsgraden van een Student’s t-verdeling v=n-1<\/em> . <\/p>\n<\/p>\n De Snedecor F-verdeling<\/strong> , ook wel de Fisher-Snedecor F-verdeling<\/strong> of eenvoudigweg F-verdeling<\/strong> genoemd, is een continue kansverdeling die wordt gebruikt bij statistische gevolgtrekkingen, vooral bij variantieanalyse.<\/p>\n Een van de eigenschappen van de Snedecor F-verdeling is dat deze wordt gedefinieerd door de waarde van twee re\u00eble parameters, m<\/em> en n<\/em> , die de vrijheidsgraden aangeven. Het symbool voor de Snedecor-verdeling F is dus Fm ,n<\/sub><\/em> , waarbij m<\/em> en n<\/em> de parameters zijn die de verdeling defini\u00ebren.<\/p>\n<\/p>\n Wiskundig gezien is de Snedecor F-verdeling gelijk aan het quoti\u00ebnt tussen een chikwadraatverdeling en zijn vrijheidsgraden gedeeld door het quoti\u00ebnt tussen een andere chikwadraatverdeling en zijn vrijheidsgraden. De formule die de Snedecor F-verdeling definieert, is dus als volgt:<\/p>\n<\/p>\n De Fisher-Snedecor F-verdeling dankt zijn naam aan de Engelse statisticus Ronald Fisher en de Amerikaanse statisticus George Snedecor.<\/p>\n In de statistieken heeft de Fisher-Snedecor F-verdeling verschillende toepassingen. De Fisher-Snedecor F-verdeling wordt bijvoorbeeld gebruikt om verschillende lineaire regressiemodellen te vergelijken, en deze waarschijnlijkheidsverdeling wordt gebruikt bij variantieanalyse (ANOVA). <\/p>\n De exponenti\u00eble verdeling<\/strong> is een continue kansverdeling die wordt gebruikt om de wachttijd voor het optreden van een willekeurig fenomeen te modelleren.<\/p>\n Nauwkeuriger gezegd maakt de exponenti\u00eble verdeling het mogelijk om de wachttijd tussen twee verschijnselen te beschrijven die een Poisson-verdeling volgt. Daarom is de exponenti\u00eble verdeling nauw verwant aan de Poisson-verdeling.<\/p>\n De exponenti\u00eble verdeling heeft een karakteristieke parameter, weergegeven door de Griekse letter \u03bb, en geeft aan hoe vaak de bestudeerde gebeurtenis naar verwachting zal plaatsvinden gedurende een bepaalde tijdsperiode.<\/p>\n<\/p>\n Op dezelfde manier wordt de exponenti\u00eble verdeling ook gebruikt om de tijd te modelleren totdat er een storing optreedt. De exponenti\u00eble verdeling heeft daarom verschillende toepassingen in de betrouwbaarheids- en overlevingstheorie. <\/p>\n<\/span> Soorten kansverdelingen<\/span><\/h2>\n
\n
<\/span> Discrete kansverdelingen<\/span><\/h3>\n
<\/span> Discrete uniforme distributie<\/span><\/h4>\n
![\"X\\sim](\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9977cf21c766a3d0ee2d79c8210dc598_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Bernoulli-distributie<\/span><\/h4>\n
![\"\\begin{array}{c}X\\sim](\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-384fd7d96d4d6584739b04a6e331b251_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Binomiale verdeling<\/span><\/h4>\n
![\"X\\sim\\text{Bin}(n,p)\"](\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2f2b2be5bfe6c63bd13c552f4c893f59_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/span>Vis distributie<\/span><\/h4>\n
![\"X\\sim](\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-be6e10a2b0137ec81fc7d366f237d1b2_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/span> multinomiale distributie<\/span><\/h4>\n
<\/span>geometrische distributie<\/span><\/h4>\n
![\"X\\sim\\text{Geom\\'etrica}(p)\"](\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-22fef9b6ab8e3b351598caf9925c2b3f_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/span> negatieve binomiale verdeling<\/span><\/h4>\n
![\"X\\sim](\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-171122de529a1c006bc46e8d89176016_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/span> hypergeometrische distributie<\/span><\/h4>\n
\n
![\"X](\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bd43d7c14739c66e63b224abf6cc20b3_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Continue waarschijnlijkheidsverdelingen<\/span><\/h3>\n
<\/span> uniforme en continue distributie<\/span><\/h4>\n
![\"X\\sim](\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-339036da3788f71282d3936dd092730c_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/span>Normale verdeling<\/span><\/h4>\n
![\"X\\sim](\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9e682e473c45274794b6fece4d7683f0_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Lognormale verdeling<\/span><\/h4>\n
![\"X\\sim](\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-216d8f120f09a37cd8f797bb3b115a40_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Chi-kwadraatverdeling<\/span><\/h4>\n
![\"\\displaystyle](\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9ea0bf7a87071883ceae5e419bae9e71_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Student’s t-verdeling<\/span><\/h4>\n
![\"\\begin{array}{c}\\nu=n-1\\\\[2ex]X\\sim](\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1c805dc2d6ca050feb70dad99de53402_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Snedecor F-distributie<\/span><\/h4>\n
![\"F_{m,n}\\qquad](\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b6126a79c671267450b6523ca16b4a92_l3.png\")
0″ title=“Rendered by QuickLaTeX.com“ height=“18″ width=“139″ style=“vertical-align: -6px;“><\/p>\n<\/p>\n![\"\\left.\\begin{array}{c}](\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d407869e61ca4357ffbcb40df3bd83ab_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/span> exponenti\u00eble verdeling<\/span><\/h4>\n
![\"X\\sim](\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-05fa833356caeb193384f780ae4edac1_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n
![\"\\begin{array}{c}X\\sim](\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ee1d0d8a1624a017b8ef9ce8a67c694e_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n