Wprowadzenie do dystrybucji rayleigha

Rozkład Rayleigha to ciągły rozkład prawdopodobieństwa używany do modelowania zmiennych losowych , które mogą przyjmować tylko wartości równe lub większe od zera.

Ma następującą funkcję gęstości prawdopodobieństwa:

f(x; σ) = (x/σ ² )e ^{-x 2 /(2σ 2 )}

gdzie σ jest parametrem skali rozkładu.

Własności rozkładu Rayleigha

Rozkład Rayleigha ma następujące właściwości:

• Średnia: σ√ π/2
• Odchylenie: ((4-π)/2)σ ²
• Tryb: σ

Ponieważ π ma znaną wartość liczbową, możemy uprościć właściwości w następujący sposób:

• Średnia: 1,253σ
• Odchylenie: 0,429σ ²
• Tryb: σ

Wizualizacja rozkładu Rayleigha

Poniższy wykres przedstawia kształt rozkładu Rayleigha, gdyż przyjmuje on różne wartości parametru skali:

Należy zauważyć, że im większa jest wartość parametru skali σ, tym szerszy staje się rozkład.

Bonus: Dla tych, którzy są ciekawi, użyliśmy następującego kodu R do wygenerowania powyższego wykresu:

 #load VGAM package
library (VGAM)

#create density plots
curve(drayleigh(x, scale = 0.5), from=0, to=10, col='green')
curve(drayleigh(x, scale = 1), from=0, to=10, col='red', add=TRUE)
curve(drayleigh(x, scale = 2), from=0, to=10, col='blue', add=TRUE)
curve(drayleigh(x, scale = 4), from=0, to=10, col='purple', add=TRUE)

#add legend
legend(6, 1, legend=c("σ=0.5", "σ=1", "σ=2", "σ=4"),
       col=c("green", "red", "blue", "purple"), lty=1, cex=1.2)

Związek z innymi dystrybucjami

Rozkład Rayleigha ma następujący związek z innymi rozkładami prawdopodobieństwa:

1. Gdy parametr skali (σ) jest równy 1, rozkład Rayleigha jest równy rozkładowi Chi-kwadrat z 2 stopniami swobody.

2. Rozkład Rayleigha jest szczególnym przypadkiem rozkładu Weibulla z parametrem kształtu k = 2.

3. Rozkład Rayleigha z parametrem skali σ jest równy rozkładowi Ryżu z Ryżem (0, σ).

Aplikacje

W praktyce rozkład Rayleigha jest wykorzystywany w różnych zastosowaniach, w tym:

1. Rozkład Rayleigha służy do modelowania zachowania fal w oceanie, w tym czasu potrzebnego falom na dotarcie do grzbietu i maksymalnej wysokości, jaką osiągają fale.

2. Rozkład Rayleigha służy do modelowania zachowania danych tła w obrazowaniu metodą rezonansu magnetycznego, bardziej znanego jako MRI.

3. Rozkład Rayleigha jest stosowany w żywieniu do modelowania zależności pomiędzy poziomem składników odżywczych a reakcją żywieniową u ludzi i zwierząt.

Dodatkowe zasoby

Poniższe tutoriale dostarczają dodatkowych informacji o innych dystrybucjach w statystykach:

Wprowadzenie do rozkładu normalnego
Wprowadzenie do rozkładu dwumianowego
Wprowadzenie do rozkładu Poissona