Standardowy błąd proporcji: wzór i przykład

Często w statystyce staramy się oszacować odsetek jednostek w populacji o określonej charakterystyce.

Na przykład możemy chcieć oszacować odsetek mieszkańców danego miasta, którzy popierają nowe prawo.

Zamiast pytać każdego mieszkańca, czy popiera prawo, zamiast tego zebralibyśmy prostą losową próbę i sprawdzilibyśmy, ilu mieszkańców w próbie popiera prawo.

Następnie obliczylibyśmy proporcję próbki (p̂) w następujący sposób:

Przykład wzoru proporcji:

p̂ = x / n

Złoto:

• x: Liczba osobników w próbie o określonej charakterystyce.
• n: Całkowita liczba osób w próbie.

Następnie użylibyśmy tej proporcji próbki do oszacowania proporcji populacji. Przykładowo, jeżeli 47 z 300 mieszkańców w próbie poparłoby nową ustawę, proporcję próby obliczylibyśmy w następujący sposób: 47/300 = 0,157 .

Oznacza to, że nasze najlepsze szacunki dotyczące odsetka mieszkańców popierających ustawę wyniosą 0,157 .

Nie ma jednak gwarancji, że to oszacowanie będzie dokładnie odpowiadać rzeczywistemu odsetkowi populacji, dlatego zwykle obliczamy również błąd standardowy tej proporcji .

Oblicza się to w następujący sposób:

Błąd standardowy wzoru proporcji:

Błąd standardowy = √ p̂(1-p̂) / n

Na przykład, jeśli p̂ = 0,157 i n = 300, to błąd standardowy proporcji obliczylibyśmy w następujący sposób:

Standardowy błąd proporcji = √ 0,157(1-0,157) / 300 = 0,021

Następnie zazwyczaj używamy tego błędu standardowego do obliczenia przedziału ufności dla prawdziwego odsetka mieszkańców popierających prawo.

Oblicza się to w następujący sposób:

Przedział ufności dla wzoru na proporcję populacji:

Przedział ufności = p̂ +/- z*√ p̂(1-p̂) / n

Patrząc na ten wzór łatwo zauważyć, że im większy błąd standardowy proporcji, tym szerszy przedział ufności .

Należy zauważyć, że z we wzorze to wartość z odpowiadająca najczęściej wybieranym poziomom ufności:

Na przykład, oto jak obliczyć 95% przedział ufności dla prawdziwego odsetka mieszkańców miast popierających nowe prawo:

• 95% CI = p̂ +/- z*√ p̂(1-p̂) / n
• 95% CI = 0,157 +/- 1,96*√ 0,157(1-0,157) / 300
• 95% CI = 0,157 +/- 1,96*(0,021)
• 95% CI = [0,10884, 0,19816]

Zatem z 95% pewnością powiedzielibyśmy, że prawdziwy odsetek mieszkańców miast popierających nowe prawo wynosi od 10 884% do 19 816%.

Dodatkowe zasoby

Błąd standardowy kalkulatora proporcji
Przedział ufności dla kalkulatora proporcji
Co to jest odsetek ludności?