4 prawdziwe przykłady rozkładu wykładniczego

Rozkład wykładniczy to rozkład prawdopodobieństwa używany do modelowania czasu, jaki musimy poczekać, aż nastąpi określone zdarzenie.

Jeśli zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy, wówczas można zapisać funkcję gęstości skumulowanej X :

F (x; λ) = 1 – e ^-λx

Złoto:

• λ: parametr szybkości (obliczany jako λ = 1/μ)
• e: Stała w przybliżeniu równa 2,718

W tym artykule przedstawiamy 5 przykładów rozkładu wykładniczego w prawdziwym życiu.

Przykład 1: Czas pomiędzy erupcjami gejzerów

Liczbę minut pomiędzy erupcjami określonego gejzeru można modelować za pomocą rozkładu wykładniczego.

Załóżmy na przykład, że średnia liczba minut pomiędzy erupcjami pewnego gejzeru wynosi 40 minut. Jeśli wybuchnie gejzer, jakie jest prawdopodobieństwo, że na następną erupcję będziemy musieli poczekać krócej niż 50 minut?

Aby rozwiązać ten problem, musimy najpierw obliczyć parametr szybkości:

• λ = 1/µ
• λ = 1/40
• λ = 0,025

Możemy podstawić λ = 0,025 i x = 50 do wzoru CDF:

• P(X ≤ x) = 1 – e ^-λx
• P(X ≤ 50) = 1 – e ^-0,025(50)
• P(X ≤ 50) = 0,7135

Prawdopodobieństwo, że na kolejną erupcję będziemy musieli poczekać mniej niż 50 minut, wynosi 0,7135 .

Przykład 2: Czas między klientami

Liczbę minut pomiędzy wejściami klientów do danego sklepu można modelować za pomocą rozkładu wykładniczego.

Załóżmy na przykład, że nowy klient wchodzi do sklepu średnio co dwie minuty. Po przybyciu klienta określ prawdopodobieństwo, że nowy klient dotrze w czasie krótszym niż minuta.

Aby rozwiązać ten problem, możemy zacząć od wiedzy, że średni czas między klientami wynosi dwie minuty. Zatem stawkę można obliczyć w następujący sposób:

• λ = 1/µ
• λ = 1/2
• λ = 0,5

Możemy podłączyć λ = 0,5 i x = 1 do wzoru CDF:

• P(X ≤ x) = 1 – e ^-λx
• P(X ≤ 1) = 1 – e ^-0,5(1)
• P(X ≤ 1) = 0,3935

Prawdopodobieństwo, że na przybycie kolejnego klienta będziemy musieli poczekać krócej niż minutę, wynosi 0,3935 .

Przykład 3: Czas pomiędzy trzęsieniami ziemi  

Czas pomiędzy wystąpieniami trzęsień ziemi można modelować za pomocą rozkładu wykładniczego.

Załóżmy na przykład, że trzęsienie ziemi występuje w określonym regionie średnio co 400 dni. Po trzęsieniu ziemi określ prawdopodobieństwo, że do następnego trzęsienia ziemi upłynie więcej niż 500 dni.

Aby rozwiązać ten problem, zaczynamy od wiedzy, że średni czas między trzęsieniami ziemi wynosi 400 dni. Zatem stawkę można obliczyć w następujący sposób:

• λ = 1/µ
• λ = 1/400
• λ = 0,0025

Możemy podstawić λ = 0,0025 i x = 500 do wzoru CDF:

• P(X ≤ x) = 1 – e ^-λx
• P(X ≤ 1) = 1 – e ^-0,0025(500)
• P(X ≤ 1) = 0,7135

Prawdopodobieństwo, że na kolejne trzęsienie ziemi będziemy musieli poczekać mniej niż 500 dni, wynosi 0,7135.

Zatem prawdopodobieństwo, że na kolejne trzęsienie ziemi będziemy musieli poczekać ponad 500 dni, wynosi 1 – 0,7135 = 0,2865 .

Przykład 4: czas pomiędzy połączeniami

Czas pomiędzy rozmowami z klientami w różnych firmach można modelować za pomocą rozkładu wykładniczego.

Załóżmy na przykład, że bank otrzymuje nowe połączenie średnio co 10 minut. Gdy klient zadzwoni, określ prawdopodobieństwo, że nowy klient zadzwoni w ciągu 10–15 minut.

Aby rozwiązać ten problem, zaczynamy od wiedzy, że średni czas między połączeniami wynosi 10 minut. Zatem stawkę można obliczyć w następujący sposób:

• λ = 1/µ
• λ = 1/10
• λ = 0,1

Aby obliczyć prawdopodobieństwo, że nowy klient zadzwoni w ciągu 10-15 minut, możemy skorzystać z poniższego wzoru:

• P(10 < X ≤ 15) = (1 – e ^-0,1(15) ) – (1 – e ^-0,1(10) )
• P(10 < X ≤ 15) = 0,7769 – 0,6321
• P(10 < X ≤ 15) = 0,1448

Prawdopodobieństwo, że nowy klient zadzwoni w ciągu 10-15 minut. wynosi 0,1448 .

Dodatkowe zasoby

W poniższych artykułach przedstawiono przykłady wykorzystania innych rozkładów prawdopodobieństwa w świecie rzeczywistym:

6 konkretnych przykładów rozkładu normalnego
5 konkretnych przykładów rozkładu dwumianowego
5 konkretnych przykładów rozkładu Poissona
5 konkretnych przykładów rozkładu geometrycznego
5 konkretnych przykładów równomiernego rozkładu