Rozkład chi-kwadrat
W tym artykule wyjaśniono, czym jest rozkład chi-kwadrat i do czego się go stosuje. Dodatkowo znajdziesz wykres rozkładu chi-kwadrat i jego właściwości.
Jaki jest rozkład chi-kwadrat?
Rozkład chi-kwadrat jest rozkładem prawdopodobieństwa, którego symbolem jest χ². Dokładniej, rozkład chi-kwadrat jest sumą kwadratów k niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie normalnym.
Zatem rozkład Chi-kwadrat ma k stopni swobody. Dlatego rozkład Chi-kwadrat ma tyle stopni swobody, ile reprezentuje suma kwadratów zmiennych o rozkładzie normalnym.
Rozkład Chi-kwadrat jest również znany jako rozkład Pearsona .
Należy zauważyć, że rozkład Chi-kwadrat jest szczególnym przypadkiem rozkładu gamma.
Rozkład chi-kwadrat jest szeroko stosowany we wnioskowaniu statystycznym, na przykład w testowaniu hipotez i przedziałach ufności. Zobaczymy poniżej, jakie są zastosowania tego typu rozkładu prawdopodobieństwa.
Wykres rozkładu chi-kwadrat
Kiedy już zobaczymy definicję rozkładu chi-kwadrat, zobaczymy kilka przykładów tego typu rozkładu przedstawionych graficznie. Poniżej możesz zobaczyć, jak wykres prawdopodobieństwa rozkładu chi-kwadrat zmienia się w zależności od stopni swobody.
Funkcję gęstości rozkładu chi-kwadrat przedstawiono na powyższym wykresie. Natomiast wykres funkcji skumulowanego rozkładu prawdopodobieństwa chi-kwadrat wygląda następująco:
Charakterystyka rozkładu chi-kwadrat
W tej sekcji zobaczymy najważniejsze właściwości rozkładu Chi-kwadrat związane z teorią prawdopodobieństwa i statystyką.
- Średnia rozkładu chi-kwadrat jest równa jego stopniom swobody.
- Wariancja rozkładu chi-kwadrat jest równa dwukrotności stopni swobody rozkładu.
- Tryb rozkładu chi-kwadrat jest o dwie jednostki mniejszy niż jego stopnie swobody, o ile rozkład ma więcej niż jeden stopień swobody.
- Funkcja gęstości rozkładu chi-kwadrat wynosi zero, jeśli x=0. Jednakże dla wartości x większych niż 0 funkcję gęstości rozkładu Chi-kwadrat definiuje następujący wzór:
- Dystrybuantę dystrybucyjną chi-kwadrat reguluje następujący wzór:
- Współczynnik skośności rozkładu chi-kwadrat jest pierwiastkiem kwadratowym z ilorazu ośmiu podzielonego przez liczbę stopni swobody rozkładu.
- Kurtozę rozkładu Chi-kwadrat oblicza się za pomocą następującego wyrażenia:
- Dzięki centralnemu twierdzeniu granicznemu rozkład chi-kwadrat można aproksymować rozkładem normalnym, jeśli k jest wystarczająco duże.
Zastosowania rozkładu chi-kwadrat
Rozkład chi-kwadrat ma wiele różnych zastosowań w statystyce. W rzeczywistości istnieje nawet test chi-kwadrat, który służy do sprawdzania niezależności między zmiennymi i dopasowania do rozkładu teoretycznego. Na przykład test Chi-kwadrat można zastosować do ustalenia, czy dane próbki są zgodne z rozkładem Poissona.
W analizie regresji liniowej rozkład chi-kwadrat jest również używany do szacowania średniej populacji o rozkładzie normalnym i do szacowania nachylenia linii badania regresji liniowej.
Wreszcie rozkład Chi-kwadrat również uczestniczy w analizie wariancji poprzez swój związek z rozkładem Snedecor F.