Rozkład geometryczny

Przez Benjamin Anderson 3 sierpnia, 2023 Prawdopodobieństwo 0 komentarzy

W tym artykule wyjaśniono, czym jest rozkład geometryczny w statystyce. Znajdziesz zatem definicję rozkładu geometrycznego, przykłady rozkładów geometrycznych oraz właściwości tego typu rozkładu prawdopodobieństwa. Dodatkowo możesz obliczyć dowolne prawdopodobieństwo rozkładu geometrycznego za pomocą kalkulatora online.

Co to jest rozkład geometryczny?

Rozkład geometryczny to rozkład prawdopodobieństwa, który określa liczbę prób Bernoulliego wymaganych do uzyskania pierwszego pomyślnego wyniku.

Oznacza to, że rozkład geometryczny modeluje procesy, w których eksperymenty Bernoulliego są powtarzane, aż jeden z nich uzyska pozytywny wynik.

Pamiętaj, że test Bernoulliego to eksperyment, który ma dwa możliwe wyniki: „sukces” i „porażkę”. Zatem jeśli prawdopodobieństwo „sukcesu” wynosi p , prawdopodobieństwo „porażki” wynosi q=1-p .

Rozkład geometryczny zależy zatem od parametru p , który oznacza prawdopodobieństwo powodzenia wszystkich przeprowadzonych eksperymentów. Co więcej, prawdopodobieństwo p jest takie samo dla wszystkich eksperymentów.

$X\sim\text{Geom\'etrica}(p)$

Podobnie rozkład geometryczny można również zdefiniować jako liczbę niepowodzeń przed pierwszym sukcesem. W tym przypadku rozkład może przyjąć wartość x=0 i jego wzór ulega niewielkim zmianom. Jednak najczęstszym jest powrót do definicji rozkładu geometrycznego wyjaśnionej na początku tej sekcji.

Przykłady rozkładu geometrycznego

Kiedy już zapoznamy się z definicją rozkładu geometrycznego, w tej sekcji pokażemy kilka przykładów zmiennych losowych, które podlegają temu typowi rozkładu.

Przykłady rozkładu geometrycznego:

Liczba rzutów monetą wykonanych do momentu uzyskania orła.
Liczba samochodów przejeżdżających drogą do chwili zobaczenia czerwonego samochodu.
Ile razy dana osoba musi przystąpić do egzaminu na prawo jazdy, zanim go zda.
Liczba rzutów kośćmi do momentu wyrzucenia liczby 6.
Liczba rzutów wolnych, które należy wykonać do momentu zdobycia bramki.

Wzór na rozkład geometryczny

W rozkładzie geometrycznym prawdopodobieństwo konieczności przeprowadzenia x prób w celu uzyskania pozytywnego wyniku jest iloczynem parametru p razy (1-p) do potęgi x-1 .

Dlatego wzór na obliczenie prawdopodobieństwa rozkładu geometrycznego jest następujący:

👉 Za pomocą poniższego kalkulatora możesz obliczyć prawdopodobieństwo wystąpienia zmiennej zgodnej z rozkładem geometrycznym.

Natomiast wzór na dystrybuantę pozwalającą obliczyć skumulowane prawdopodobieństwo rozkładu geometrycznego jest następujący:

$P[X\leq x]=1-(1-p)^x$

Rozwiązano zadanie z rozkładem geometrycznym

Jakie jest prawdopodobieństwo, że w trzecim rzucie kostką wypadnie liczba 5?

Rozkład prawdopodobieństwa tego zadania jest rozkładem geometrycznym, ponieważ określa liczbę rzutów niezbędnych (trzy), aby uzyskać pomyślny wynik (liczba 5).

Musimy zatem najpierw obliczyć prawdopodobieństwo powodzenia każdego startu. W tym przypadku istnieje tylko jeden pozytywny wynik z sześciu możliwych wyników, więc prawdopodobieństwo p wynosi:

$p=\cfrac{1}{6}=0,1667$

Następnie stosujemy wzór na rozkład geometryczny, aby określić prawdopodobieństwo, że w ćwiczeniu zadawane jest nam pytanie:

$\begin{aligned}\displaystyle P[X=x]&=(1-p)^{x-1}\cdot p\\[2ex]\displaystyle P[X=3]&=\left(1-\frac{1}{6}\right)^{3-1}\cdot \frac{1}{6}\\[2ex]\displaystyle P[X=3]&=0,1157\end{aligned}$

Charakterystyka rozkładu geometrycznego

Rozkład geometryczny spełnia następujące cechy:

Rozkład geometryczny ma charakterystyczny parametr p , który jest prawdopodobieństwem powodzenia każdego z przeprowadzonych eksperymentów.

 *** QuickLaTeX cannot compile formula:
\begin{array}{c} of each experiment carried out.</li></ul>[latex]E[X]=\cfrac{1}{p}

*** Error message:
Missing $ inserted.
leading text: \begin{array}{c}
Please use \mathaccent for accents in math mode.
leading text: ...0 <ul><li> The mean of the general distribution
Please use \mathaccent for accents in math mode.
leading text: ...><li> The mean of the geometric distribution
Please use \mathaccent for accents in math mode.
leading text: ...ne of the geometric distribution is
Please use \mathaccent for accents in math mode.
leading text: ...the geometric distribution is equal to
Please use \mathaccent for accents in math mode.
leading text: ...geometric tion is equal to one divided
Please use \mathaccent for accents in math mode.
leading text: ...st equals one divided by probability
Please use \mathaccent for accents in math mode.

Wariancja rozkładu geometrycznego jest równa różnicy 1 minus p przez kwadrat p .

$Var(X)=\cfrac{1-p}{p^2}$

Wzór na funkcję masy rozkładu geometrycznego jest następujący:

$P[X=x]=(1-p)^{x-1}\cdot p$

Podobnie wzór na skumulowaną funkcję prawdopodobieństwa rozkładu geometrycznego jest następujący:

$P[X\leq x]=1-(1-p)^x$

Rozkład geometryczny jest szczególnym przypadkiem ujemnego rozkładu dwumianowego. Dokładniej, jest to równoważne ujemnemu rozkładowi dwumianowemu z parametrem r=1 .

$X\sim \text{BN}(1,p) \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ X\sim\text{Geom\'etrica}(p)$

➤ Zobacz: Ujemny rozkład dwumianowy
➤ Zobacz: Rozkład dwumianowy

Kalkulator rozkładu geometrycznego

Wprowadź wartość parametru p i wartość x do poniższego kalkulatora, aby obliczyć prawdopodobieństwo. Musisz wybrać prawdopodobieństwo, które chcesz obliczyć i wprowadzić liczby, używając kropki jako separatora dziesiętnego, na przykład 0,1667.

o autorze

Dr Benjamin Anderson

Cześć, jestem Benjamin i jestem emerytowanym profesorem statystyki, który został oddanym nauczycielem Statorials. Dzięki bogatemu doświadczeniu i wiedzy specjalistycznej w dziedzinie statystyki chętnie dzielę się swoją wiedzą, aby wzmocnić pozycję uczniów za pośrednictwem Statorials. Wiedzieć więcej