Zdarzenia rozłączne lub niezależne: jaka jest różnica?

Dwa terminy, które uczniowie często mylą, to terminy rozłączne i niezależne .

Oto różnica w kilku słowach:

Dwa zdarzenia nazywamy rozłącznymi , jeśli nie mogą wystąpić jednocześnie.

Dwa zdarzenia nazywamy niezależnymi , jeśli wystąpienie jednego zdarzenia nie ma wpływu na prawdopodobieństwo wystąpienia drugiego zdarzenia.

Poniższe przykłady ilustrują różnicę między tymi dwoma terminami w różnych scenariuszach.

Przykład 1: Rzuć monetą

Scenariusz 1: Załóżmy, że rzucamy raz monetą. Jeśli zdefiniujemy zdarzenie A jako lądowanie monety na reszce i zdarzenie B jako lądowanie monety na orle, wówczas zdarzenie A i zdarzenie B są rozłączne , ponieważ moneta nie może wylądować na reszce ani na powierzchni.

Scenariusz 2 : Załóżmy, że rzucamy dwa razy monetą. Jeśli zdefiniujemy zdarzenie A jako wyrzucenie reszki w pierwszym rzucie i zdarzenie B jako wyrzucenie reszki w drugim rzucie, to zdarzenie A i zdarzenie B są niezależne , ponieważ wynik jednego losowania nie ma wpływu na wynik z drugiej.

Przykład 2: Rzuć kostką

Scenariusz 1: Załóżmy, że rzucamy raz kostką. Jeśli pozwolimy, aby zdarzenie A było zdarzeniem, w którym kość wyląduje na liczbie parzystej, a zdarzenie B zdarzeniem, w którym kość wyląduje na liczbie nieparzystej, wówczas zdarzenie A i zdarzenie B są rozłączne , ponieważ kości nie mogą wylądować na liczbie parzystej i nieparzystej numer jednocześnie.

Scenariusz 2 : Załóżmy, że rzucamy dwukrotnie kostką. Jeśli zdefiniujemy zdarzenie A jako wypadnięcie kości na „5” w pierwszym rzucie i zdarzenie B jako wypadnięcie na „5” w drugim rzucie, to zdarzenie A i zdarzenie B są niezależne , ponieważ wynik jednego rzut kostkami nie ma wpływu na wynik drugiego.

Przykład 3: Wybór karty

Scenariusz 1: Załóżmy, że wybieramy kartę ze standardowej talii 52 kart. Jeśli pozwolimy, aby zdarzenie A było zdarzeniem, że karta jest pik, a zdarzenie B było zdarzeniem, że karta jest diamentem, wówczas zdarzenie A i zdarzenie B są rozłączne , ponieważ karta nie może być pikiem i diamentem. w tym samym czasie.

Scenariusz 2 : Załóżmy, że wybieramy kartę ze standardowej talii 52 kart dwa razy z rzędu i uzupełniamy ją. Jeśli zdefiniujemy zdarzenie A jako kartę będącą pik w pierwszym losowaniu i zdarzenie B jako kartę będącą pik w drugim losowaniu, to zdarzenie A i zdarzenie B są niezależne , ponieważ wynik jednego losowania nie ma wpływu na wynik z drugiej.

Zapis prawdopodobieństwa: zdarzenia rozłączne lub zdarzenia niezależne

Zapisane w notacji probabilistycznej mówimy, że zdarzenia A i B są rozłączne , jeśli ich przecięcie wynosi zero. Można to zapisać w następujący sposób:

• P(A∩B) = 0

Załóżmy na przykład, że rzucamy kostką raz. Niech zdarzenie A będzie zdarzeniem, w którym kość wyląduje na liczbie parzystej, a zdarzenie B zdarzeniem, w którym kość wyląduje na liczbie nieparzystej.

Przykładową przestrzeń dla zdarzeń zdefiniowalibyśmy w następujący sposób:

• ZA = {2, 4, 6}
• B = {1, 3, 5}

Należy zwrócić uwagę, że dwie próbkowane przestrzenie nie nakładają się na siebie. Zatem zdarzenia A i B są zdarzeniami rozłącznymi , ponieważ oba nie mogą wystąpić w tym samym czasie.

Moglibyśmy więc napisać:

• P(A∩B) = 0

Podobnie, zapisując w notacji probabilistycznej, mówimy, że zdarzenia A i B są niezależne , jeśli spełniony jest następujący warunek:

• P(A∩B) = P(A) * P(B)

Załóżmy na przykład, że rzucamy kostką dwa razy. Niech wydarzeniem A będzie zdarzenie, w którym kość wypadnie na „5” w pierwszym rzucie i niech zdarzenie B będzie zdarzeniem, w którym kość wypadnie na „5” w drugim rzucie.

Jeśli zapiszemy wszystkie 36 możliwych sposobów wylądowania kości, okaże się, że tylko w 1 z 36 scenariuszy kość wypadła w obu przypadkach na „5”. Powiedzielibyśmy więc, że P(A∩B) = 1/36.

Wiemy również, że prawdopodobieństwo, że w pierwszym rzucie kostka wypadnie na „5”, wynosi P(A) = 1/6.

Wiemy również, że prawdopodobieństwo, że w drugim rzucie kostka wypadnie na „5”, wynosi P(B) = 1/6.

Moglibyśmy więc napisać:

• P(A∩B) = P(A) * P(B)
• 1/36 = 1/6 * 1/6
• 1/36 = 1/36

Ponieważ to równanie jest prawdziwe, możemy skutecznie powiedzieć, że zdarzenie A i zdarzenie B są w tym scenariuszu niezależne .

Dodatkowe zasoby

Poniższe samouczki zawierają dodatkowe informacje na temat różnych terminów statystycznych:

Co to są zdarzenia rozłączne? (Definicja i przykłady)
Wydarzenia wzajemnie włączające się lub wykluczające