Wielkość próbki

Przez Benjamin Anderson 3 sierpnia, 2023 Statystyka 0 komentarzy

W artykule wyjaśniono, czym jest wielkość próby i dlaczego jest ona istotna w statystyce. Dodatkowo dowiesz się, jak obliczyć odpowiednią wielkość próby i rozwiązane ćwiczenie, dzięki czemu będziesz mógł zobaczyć, jak to się robi.

Jaka jest wielkość próbki?

Wielkość próby (lub wielkość próby ) to liczba osób tworzących próbkę badaną. W statystyce wielkość próby jest ważna, aby próba była reprezentatywna dla całej populacji.

Dlatego wielkość próby w badaniu statystycznym musi być wystarczająco duża, aby reprezentować cechy całej populacji. Z drugiej strony wielkość próby nie może być zbyt duża, gdyż badania stają się wówczas droższe. Podsumowując, wielkość próby powinna być odpowiednia, ani za duża, ani za mała.

Przykładowo, jeśli chcemy przeprowadzić analizę wysokości kraju, nie możemy zapytać o wzrost wszystkich mieszkańców kraju, ponieważ badanie zajęłoby dużo czasu i byłoby zbyt kosztowne. Konieczne jest zatem pobranie losowego doboru próby i przeprowadzenie wywiadu wyłącznie z reprezentatywną próbą populacji.

➤ Zobacz: Rodzaje pobierania próbek

A skąd możemy poznać odpowiednią wielkość próbki? W następnej sekcji zobaczymy, jak określić odpowiednią wielkość próby na podstawie wymagań badawczych.

Jak obliczyć wielkość próbki

Do oszacowania średniej wymagana wielkość próby jest równa kwadratowi Z _α/2 pomnożonemu przez odchylenie standardowe (σ) podzielone przez pożądany margines błędu (e). Wzór na obliczenie wielkości próby jest zatem następujący:

$\displaystyle n=\left(\frac{Z_{\alpha/2}\cdot\sigma}{e}\right)^2$

Złoto:

$n$

to wielkość próbki.
$\alpha$

jest pożądanym poziomem istotności. Biorąc to pod uwagę

$1-\alpha$

to pożądany poziom ufności.
$Z_{\alpha/2}$

jest kwantylem standardowego rozkładu normalnego odpowiadającym prawdopodobieństwu α/2. Dla dużych próbek i poziomu ufności 95% jest to zwykle bliskie 1,96, a dla poziomu ufności 99% jest zwykle bliskie 2,576.
$\sigma$

jest odchyleniem standardowym.

Należy pamiętać, że w tym wzorze zakłada się, że wielkość populacji jest nieskończona, to znaczy wielkość populacji jest bardzo duża lub nieznana.

Uwaga: Powyższy wzór wyprowadzono z przedziału wzoru ufności dla średniej .

Przykład obliczenia liczebności próby

W tej sekcji jako przykład obliczymy odpowiednią wielkość próby do badania statystycznego.

Wiemy, że odchylenie standardowe populacji wynosi około 15, ale nie znamy jego średniej, dlatego chcemy przeprowadzić badanie, aby oszacować tę średnią. Jakiej wielkości próby potrzebujemy, jeśli chcemy mieć margines błędu ±2 przy poziomie ufności 95%?

Jak widzieliśmy powyżej, wzór na obliczenie wielkości próby jest następujący:

$\displaystyle n=\left(\frac{Z_{\alpha/2}\cdot\sigma}{e}\right)^2$

W tym przypadku pożądany poziom ufności wynosi 95%, zatem odpowiadająca mu wartość Z _α/2 wynosi 1,96.

$1-\alpha=0,95 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \alpha=0,05 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ \alpha/2=0,025$

$\begin{array}{c}Z_{\alpha/2}= \ \color{orange}\bm{?}\\[4ex]Z_{0,025}=1,96\end{array}$

➤ Zobacz: Tabela z wartościami poziomu ufności

Wreszcie, gdy już wiemy, ile warte są wszystkie parametry, podstawiamy ich wartości do wzoru i obliczamy wielkość próbki:

$\begin{aligned}\displaystyle n&=\left(\frac{Z_{\alpha/2}\cdot\sigma}{e}\right)^2\\[2ex] n&=\left(\frac{1,96\cdot 15}{2}\right)^2\\[2ex] n&=216,09 \approx 217 \end{array}$

Krótko mówiąc, aby oszacować średnią populacyjną przy zadanych wymaganiach, potrzebujemy co najmniej próby 217 osobników.

Wielkość próby, poziom ufności i margines błędu

W zależności od poziomu ufności i wymaganego marginesu błędu wymagana wielkość próby będzie się różnić. Zatem wielkość próby, poziom ufności i margines błędu są ze sobą powiązane w następujący sposób:

Wielkość próby i poziom ufności są wprost proporcjonalne. Oznacza to, że jeśli poziom ufności wzrośnie, wielkość próby również wzrośnie.
Wielkość próby i margines błędu są odwrotnie proporcjonalne. Zatem jeśli margines błędu wzrośnie, wielkość próby zmniejszy się.
Dlatego zwiększenie wielkości próby może zwiększyć poziom ufności lub zmniejszyć margines błędu.

Inne wzory na wielkość próbki

W zależności od szacowanego parametru wzór na niezbędną wielkość próby różni się nieznacznie. Dlatego w tej sekcji zobaczymy inne wzory, które w niektórych szczególnych przypadkach mogą być przydatne do obliczenia wielkości próby.

wielkość próbki proporcji

Wzór na obliczenie liczebności próby potrzebnej do oszacowania proporcji (p) jest następujący:

$n=\cfrac{N\cdot Z_{\alpha/2}^2\cdot p\cdot (1-p)}{e^2\cdot (N-1)+Z_{\alpha/2}^2\cdot p\cdot (1-p)}$

Wielkość próby prawdopodobieństwa

Jeśli chcesz oszacować prawdopodobieństwo, zaleca się skorzystanie z poniższego wzoru w celu określenia niezbędnej wielkości próby:

$\displaystyle n=\left(\frac{Z_{\alpha/2}}{2\cdot e}\right)^2$

Wielkość próby do porównania dwóch niezależnych średnich

Wzór na obliczenie liczebności próby przy porównywaniu dwóch niezależnych średnich przy danym ryzyku α i ryzyku β jest następujący:

$n=\cfrac{2\cdot \sigma^2 \cdot \left(Z_{\alpha/2}+Z_\beta\right)}{\Delta^2}$

Złoto

$\Delta$

jest różnicą między dwoma środkami hipotezy alternatywnej.

Wielkość próbki do porównania dwóch sparowanych średnich

Jeśli chcesz porównać dwie sparowane średnie ze stałym błędem α i błędem β, wzór, którego należy użyć do znalezienia liczby obserwacji w próbie, to:

$n=\cfrac{2\cdot \sigma_d^2 \cdot \left(Z_{\alpha/2}+Z_\beta\right)}{\Delta^2}$

Złoto

$\Delta$

jest różnicą między dwoma sparowanymi średnimi hipotezy alternatywnej i

$\sigma_d^2$

Jest to wariancja różnic między dwoma pomiarami tej samej osoby.

o autorze

Dr Benjamin Anderson

Cześć, jestem Benjamin i jestem emerytowanym profesorem statystyki, który został oddanym nauczycielem Statorials. Dzięki bogatemu doświadczeniu i wiedzy specjalistycznej w dziedzinie statystyki chętnie dzielę się swoją wiedzą, aby wzmocnić pozycję uczniów za pośrednictwem Statorials. Wiedzieć więcej