Przedział ufności

Przez 3 sierpnia, 2023 Statystyka 0 komentarzy

W tym artykule wyjaśniono, czym jest przedział ufności w statystyce i do czego się go używa. Znajdziesz tu także czynniki wpływające na przedziały ufności oraz sposób obliczania przedziału ufności.

Co to jest przedział ufności?

W statystyce przedział ufności to przedział dający przybliżenie wartości, pomiędzy którymi wartość parametru populacji łączy się z pewnym poziomem ufności. Najpopularniejsze przedziały ufności mają poziom ufności 95% lub 99%.

Na przykład, jeśli przedział ufności dla średniej populacji o poziomie ufności 95% wynosi (3,7), oznacza to, że średnia badanej populacji będzie wynosić od 3 do 7 z prawdopodobieństwem 95%.

Dlatego przedział ufności służy do oszacowania dwóch wartości, pomiędzy którymi mieści się parametr populacji. Generalnie wartości parametrów populacji są nieznane, dlatego na podstawie danych w próbie oblicza się przedział ufności, aby oszacować parametry populacji.

Czynniki wpływające na przedział ufności

Kiedy już zapoznamy się z definicją przedziału ufności, zobaczymy, od jakich czynników zależą przedziały ufności, aby lepiej zrozumieć tę koncepcję.

  • Wielkość próby : liczba zbadanych obserwacji wpływa na precyzję przedziału ufności, ponieważ im więcej mamy danych, tym łatwiej można oszacować wartość. Ogólnie rzecz biorąc, im większa wielkość próby, tym mniejsza szerokość przedziału ufności.
  • Margines błędu : im większy błąd dopuszczalny, tym większy przedział ufności, a zatem tym większe prawdopodobieństwo, że prawdziwa wartość parametru mieści się w przedziale ufności. Jednak margines błędu zmniejsza precyzję przedziału ufności.
  • Poziom ufności : prawdopodobieństwo, że oszacowanie statystyki populacji mieści się w przedziale ufności. Zwykle poziom ufności przedziału jest oznaczany jako 1-α i wyrażany w procentach. Wysoki poziom ufności zwiększa prawdopodobieństwo, że prawdziwa wartość leży pomiędzy granicami przedziału, ale także zwiększa szerokość przedziału.
  • Szacowany parametr : przedział ufności zależy od parametru, który ma być aproksymowany. W rzeczywistości wzór stosowany do obliczania przedziału ufności zależy od przybliżonego parametru.

Jak obliczyć przedział ufności

Poniżej przedstawiono wzór, jaki należy zastosować do obliczenia każdego rodzaju przedziału ufności, ponieważ w zależności od tego, czy chcemy wyznaczyć przedział ufności dla średniej, wariancji czy proporcji, formuła, którą należy zastosować, jest inna.

Przedział ufności dla średniej

Wychodząc z faktu, że proces wpisywania zmiennej odbywa się w następujący sposób:

Z=\cfrac{X-\mu}{\displaystyle\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \sim N(0,1)

Przedział ufności dla średniej oblicza się, dodając i odejmując od średniej próbki wartość Z α/2 pomnożoną przez odchylenie standardowe (σ) i podzieloną przez pierwiastek kwadratowy z wielkości próby (n). Zatem wzór na obliczenie przedziału ufności średniej jest następujący:

\displaystyle \left(\overline{x}-z_{\alpha/2}\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \ , \ \overline{x}+z_{\alpha/2}\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)

Dla dużych próbek i poziomu ufności 95% wartością krytyczną jest Z α/2 = 1,96, a dla poziomu ufności 99% wartością krytyczną jest Z α/2 = 2,576.

Powyższy wzór stosuje się, gdy znana jest wariancja populacji. Jeśli jednak wariancja populacji jest nieznana, co jest najczęstszym przypadkiem, przedział ufności dla średniej oblicza się za pomocą następującego wzoru:

\displaystyle \left(\overline{x}-t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \ , \ \overline{x}+t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \right)

Złoto:

  • \overline{x}

    to przykładowe środki.

  • t_{\alpha/2}

    jest wartością rozkładu t-Studenta n-1 stopni swobody z prawdopodobieństwem α/2.

  • s

    jest odchyleniem standardowym próbki.

  • n

    to wielkość próbki.

przedział ufności

Przedział ufności dla wariancji

Aby obliczyć przedział ufności dla wariancji populacji, stosuje się rozkład chi-kwadrat. Dokładniej, wzór na obliczenie przedziału ufności dla wariancji jest następujący:

\displaystyle \left( (n-1)\frac{s^2}{\chi_{n-1;\alpha/2}} \ , \ (n-1)\frac{s^2}{\chi_{n-1;1-\alpha/2}}\right)

Złoto:

  • n

    to wielkość próbki.

  • s

    jest odchyleniem standardowym próbki.

  • \chi_{n-1;\alpha/2}

    jest wartością rozkładu chi-kwadrat z n-1 stopniami swobody dla prawdopodobieństwa mniejszego niż α/2.

  • \chi_{n-1;1-\alpha/2}

    jest wartością rozkładu Chi-kwadrat z n-1 stopniami swobody dla prawdopodobieństwa większego niż 1-α/2.

Przedział ufności dla proporcji

Przedział ufności dla proporcji oblicza się, dodając i odejmując od proporcji próbki wartość Z α/2 pomnożoną przez pierwiastek kwadratowy proporcji próbki (p) pomnożony przez 1-p i podzielony przez liczebność próby (n). Zatem wzór na obliczenie przedziału ufności dla proporcji jest następujący:

\displaystyle \left(p-Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\ , \ p+Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\right)

Złoto:

  • p

    jest proporcją próbki.

  • n

    to wielkość próbki.

  • Z_{\alpha/2}

    jest kwantylem standardowego rozkładu normalnego odpowiadającym prawdopodobieństwu α/2. Dla dużych próbek i poziomu ufności 95% jest to zwykle bliskie 1,96, a dla poziomu ufności 99% jest zwykle bliskie 2,576.

o autorze

Benjamin Anderson
Dr Benjamin Anderson

Cześć, jestem Benjamin i jestem emerytowanym profesorem statystyki, który został oddanym nauczycielem Statorials. Dzięki bogatemu doświadczeniu i wiedzy specjalistycznej w dziedzinie statystyki chętnie dzielę się swoją wiedzą, aby wzmocnić pozycję uczniów za pośrednictwem Statorials. Wiedzieć więcej

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *