Odchylenie próbki

Przez Benjamin Anderson 3 sierpnia, 2023 Statystyka 0 komentarzy

W tym artykule wyjaśniono, czym jest wariancja próbki w statystyce i jaka jest różnica między wariancją próbki a wariancją populacji. Znajdziesz więc sposób obliczenia wariancji próbki, rozwiązane ćwiczenie, a dodatkowo kalkulator online pozwalający znaleźć wariancję dowolnej próbki.

Jaka jest wariancja próbki?

Wariancja próbki jest miarą rozproszenia, która wskazuje zmienność próbki statystycznej. Aby obliczyć wariancję próbki, dodaj kwadraty wszystkich reszt z próbki, a następnie podziel przez wielkość próby minus jeden.

Symbolem wariancji próbki jest s ² .

Interpretacja wartości wariancji próbki jest prosta: im większa wartość wariancji próbki, tym bardziej rozproszone są dane próbki. Zatem duża wartość wariancji próbki oznacza, że dane są daleko od siebie, natomiast mała wartość wariancji próbki oznacza, że dane są bardzo blisko siebie. Jednak interpretując wariancję próbki, należy uważać na wartości odstające , ponieważ mogą one zniekształcić wartość wariancji próbki.

Przykład formuły wariancji

Wariancja próbki jest równa sumie kwadratów reszt z próbki podzielonej przez całkowitą liczbę obserwacji minus jeden.

Zatem wzór na obliczenie wariancji próbki jest następujący:

Złoto:

$s^2$

jest wariancją próbki.
$\overline{x}$

to przykładowe środki.
$x_i$

jest wartością danych

$i$

.
$n$

to całkowita liczba elementów danych w próbie.

👉 Możesz skorzystać z poniższego kalkulatora, aby obliczyć wariancję dowolnych przykładowych danych.

Przykład obliczenia odchylenia

Kiedy już poznamy definicję wariancji próbki i jej wzór, rozwiążemy prosty przykład, aby zrozumieć, jak jest ona obliczana:

Firma obuwnicza prowadzi badania rynku, aby podjąć decyzję o wprowadzeniu na rynek nowego modelu obuwia. Ponieważ istnieje wiele różnych modeli, a Ty chcesz po prostu przeprowadzić szybką wstępną analizę, decydujesz się po prostu spojrzeć na cenę próbki pięciu najlepszych konkurencyjnych marek obuwia (ceny pokazano poniżej). Jaka jest wariancja próbki tego zbioru danych?

98 € 70 € 125 € 89 € 75 €

Najpierw musimy obliczyć średnią próbki :

$\overline{x}=\cfrac{98+70+125+89+75}{5}=91,4$

Teraz, gdy znamy średnią wartość próbki, stosujemy wzór na wariancję próbki:

$s^2=\cfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^n\left(x_i-\overline{x}\right)^2}{n-1}$

Podstawiamy przykładowe dane do wzoru:

$s^2=\cfrac{\displaystyle (98-91,4)^2+(70-91,4)^2+(125-91,4)^2+(89-91,4)^2+(75-91,4)^2}{5-1}$

Pozostaje tylko rozwiązać operacje obliczające wariancję próbki:

$\begin{aligned}s^2&=\cfrac{6,6^2+(-21,4)^2+33,6^2+(-2,4)^2+(-16,4)^2}{4}\\[2ex]s^2&=\cfrac{43,56+457,96+1128,96+5,76+268,96}{4}\\[2ex]s^2&= \cfrac{1905,2}{4} \\[2ex]s^2&=476,3 \end{aligned}$

Wariancja analizowanej próby wynosi zatem 476,3 € ² . Należy zauważyć, że jednostkami wariancji próbki są te same jednostki danych statystycznych, ale podniesione do kwadratu.

Wariancja próby i wariancja populacji

W tej sekcji zobaczymy różnicę między wariancją próbki a wariancją populacji, ponieważ są to dwa pojęcia statystyczne, które należy umieć rozróżnić.

W statystyce wariancja populacji to wariancja uzyskana w wyniku wykonania obliczeń ze wszystkimi elementami populacji, natomiast wariancja próbki to wariancja uzyskana w wyniku wykonania obliczeń tylko z próbą danych z populacji.

Z matematycznego punktu widzenia różnica między wariancją próbki a wariancją populacji jest mianownikiem wzoru użytego do jej obliczenia. Aby obliczyć wariancję próbki, należy ją podzielić przez n-1. Jednakże wariancję populacji oblicza się, dzieląc przez n.

Aby odróżnić wariancję próbki od wariancji populacji, stosuje się różne symbole. Symbolem wariancji próbki jest ^s2 , natomiast symbolem wariancji populacji jest ^σ2 .

Zatem wariancja próbki służy do oszacowania prawdziwej wartości wariancji całej populacji, ponieważ zwykle nie jest możliwe poznanie wszystkich wartości populacji i dlatego należy dokonać przybliżenia jej parametrów statystycznych. .

➤ Zobacz: Wariancja populacji

Przykład kalkulatora luki

Wprowadź dane próbki do poniższego kalkulatora, aby obliczyć jej wariancję próbki. Dane należy oddzielić spacją i wprowadzić z użyciem kropki jako separatora dziesiętnego.

o autorze

Dr Benjamin Anderson

Cześć, jestem Benjamin i jestem emerytowanym profesorem statystyki, który został oddanym nauczycielem Statorials. Dzięki bogatemu doświadczeniu i wiedzy specjalistycznej w dziedzinie statystyki chętnie dzielę się swoją wiedzą, aby wzmocnić pozycję uczniów za pośrednictwem Statorials. Wiedzieć więcej