Statystyki kontrastowe

W tym artykule wyjaśniono, czym jest statystyka kontrastu, jakie są najczęstsze wzory na statystykę kontrastu i nie tylko, związek między statystyką kontrastu, obszarem odrzucenia i obszarem akceptacji.

Jaka jest statystyka kontrastu?

Statystyka kontrastu jest zmienną o znanym rozkładzie prawdopodobieństwa związanym z postawioną hipotezą badawczą. W szczególności statystyka kontrastu jest wykorzystywana do testowania hipotez w celu odrzucenia lub zaakceptowania hipotezy zerowej.

W rzeczywistości decyzja o odrzuceniu hipotezy zerowej w ramach testu hipotezy opiera się na wartości statystyki testowej. Jeżeli wartość statystyki testowej mieści się w obszarze odrzucenia, hipoteza zerowa zostaje odrzucona. natomiast jeśli wartość statystyki testowej mieści się w obszarze akceptacji, przyjmuje się hipotezę zerową.

Wzory statystyczne kontrastu

W zależności od rodzaju testu hipotezy rozkład statystyki testowej jest różny. Wzór na statystykę testową zależy zatem również od rodzaju testowania hipotez. Następnie zobaczymy, jak obliczana jest statystyka testowa w zależności od rodzaju testu hipotezy.

Statystyka kontrastu dla średniej

Wzór na statystykę testującą hipotezę dla średniej ze znaną wariancją jest następujący:

\displaystyle Z=\frac{\overline{x}-\mu}{\displaystyle \frac{\sigma}{\sqrt{n}}}

Złoto:

  • Z

    jest statystyką testową hipotezy dla średniej.

  • \overline{x}

    to przykładowe środki.

  • \mu

    jest proponowaną wartością średnią.

  • \sigma

    jest odchyleniem standardowym populacji.

  • n

    to wielkość próbki.

Po obliczeniu statystyki kontrastu hipotezy dla średniej wynik należy zinterpretować w taki sposób, aby odrzucić lub odrzucić hipotezę zerową:

  • Jeżeli test hipotezy dla średniej jest dwustronny, hipotezę zerową odrzuca się, jeśli wartość bezwzględna statystyki jest większa niż wartość krytyczna Z α/2 .
  • Jeśli test hipotezy dla średniej odpowiada prawemu ogonowi, hipoteza zerowa jest odrzucana, jeśli statystyka jest większa niż wartość krytyczna Z α .
  • Jeśli test hipotezy dla średniej odpowiada lewemu ogonowi, hipoteza zerowa jest odrzucana, jeśli statystyka jest mniejsza niż wartość krytyczna -Z α .

\begin{array}{l}H_1: \mu\neq \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } |Z|>Z_{\alpha/2} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu> \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z>Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu< \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z<-Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\end{array}

W tym przypadku wartości krytyczne uzyskuje się ze standardowej tabeli rozkładu normalnego.

Z drugiej strony wzór na statystykę testującą hipotezę dla średniej o nieznanej wariancji jest następujący:

\displaystyle t=\frac{\overline{x}-\mu}{\displaystyle \frac{s}{\sqrt{n}}}

Złoto:

  • t

    jest statystyką testu hipotezy dla średniej, która jest zdefiniowana przez rozkład t-Studenta.

  • \overline{x}

    to przykładowe środki.

  • \mu

    jest proponowaną wartością średnią.

  • s

    jest odchyleniem standardowym próbki.

  • n

    to wielkość próbki.

Tak jak poprzednio, obliczony wynik statystyki kontrastu należy interpretować z wartością krytyczną, aby odrzucić lub nie hipotezę zerową:

  • Jeżeli test hipotezy dla średniej jest dwustronny, hipotezę zerową odrzuca się, jeśli wartość bezwzględna statystyki jest większa niż wartość krytyczna t α/2|n-1 .
  • Jeśli test hipotezy dla średniej odpowiada prawemu ogonowi, hipoteza zerowa zostaje odrzucona, jeśli statystyka jest większa niż wartość krytyczna t α|n-1 .
  • Jeśli test hipotezy dla średniej odpowiada lewemu ogonowi, hipoteza zerowa jest odrzucana, jeśli statystyka jest mniejsza niż wartość krytyczna -t α|n-1 .

\begin{array}{l}H_1: \mu\neq \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } |t|>t_{\alpha/2|n-1} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu> \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } t>t_{\alpha|n-1} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu< \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } t<-t_{\alpha|n-1} \text{ se rechaza } H_0\end{array}

Gdy wariancja nie jest znana, krytyczne wartości testowe uzyskuje się z tabeli rozkładu Studenta.

Statystyka kontrastu dla proporcji

Wzór na statystykę testującą hipotezę dotyczącą proporcji jest następujący:

\displaystyle Z=\frac{\widehat{p}-p}{\displaystyle\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}

Złoto:

  • Z

    jest statystyką testującą hipotezę dla proporcji.

  • \widehat{p}

    jest proporcją próbki.

  • p

    jest proponowaną wartością proporcji.

  • n

    to wielkość próbki.

  • \displaystyle\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}

    jest odchyleniem standardowym proporcji.

Należy pamiętać, że nie wystarczy obliczyć statystykę testu hipotezy dla proporcji, ale wynik należy następnie zinterpretować:

  • Jeżeli test hipotezy dla proporcji jest dwustronny, hipotezę zerową odrzuca się, jeśli wartość bezwzględna statystyki jest większa niż wartość krytyczna Z α/2 .
  • Jeśli test hipotezy dla proporcji odpowiada prawemu ogonowi, hipoteza zerowa jest odrzucana, jeśli statystyka jest większa niż wartość krytyczna Z α .
  • Jeśli test hipotezy dla proporcji odpowiada lewemu ogonowi, hipoteza zerowa jest odrzucana, jeśli statystyka jest mniejsza niż wartość krytyczna -Z α .

\begin{array}{l}H_1: p\neq p_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } |Z|>Z_{\alpha/2} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: p> p_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z>Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: p< p_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z<-Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\end{array}

Pamiętaj, że wartości krytyczne można łatwo uzyskać ze standardowej tabeli rozkładu normalnego.

Statystyka kontrastowa dla wariancji

Wzór na obliczenie statystyki testu hipotezy dla wariancji jest następujący:

\chi^2=\cfrac{(n-1)s^2}{\sigma^2}

Złoto:

  • \chi^2

    jest statystyką testującą hipotezę dotyczącą wariancji, która ma rozkład chi-kwadrat.

  • n

    to wielkość próbki.

  • s^2

    jest wariancją próbki.

  • \sigma^2

    jest wariancją proponowanej populacji.

Aby zinterpretować wynik statystyki, uzyskaną wartość należy porównać z wartością krytyczną testu.

  • Jeśli test hipotezy na wariancję jest dwustronny, hipoteza zerowa jest odrzucana, jeśli statystyka jest większa niż wartość krytyczna.

    \chi_{1-\alpha/2|n-1}^2

    lub jeśli wartość krytyczna jest mniejsza niż

    \chi_{\alpha/2|n-1}

    .

  • Jeśli test hipotezy dla wariancji pasuje do prawego ogona, hipoteza zerowa jest odrzucana, jeśli statystyka jest większa niż wartość krytyczna

    \chi_{1-\alpha|n-1}^2

    .

  • Jeżeli test hipotezy pod kątem wariancji pasuje do lewego ogona, hipoteza zerowa zostaje odrzucona, jeśli statystyka jest mniejsza niż wartość krytyczna

    \chi_{\alpha|n-1}

    .

\begin{array}{l}H_1: \sigma^2\neq \sigma_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } \chi^2>\chi^2_{1-\alpha/2|n-1}\text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \sigma^2\neq \sigma_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si }\chi^2<\chi^2_{\alpha/2|n-1}\text{ se rechaza } H_0 \\[3ex]H_1: \sigma^2> \sigma_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } \chi^2>\chi^2_{1-\alpha|n-1}\text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \sigma^2< \sigma_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } \chi^2<\chi^2_{\alpha|n-1}\text{ se rechaza } H_0\end{array}

Wartości testowe hipotezy krytycznej dla wariancji uzyskuje się z tabeli rozkładu chi-kwadrat. Należy zauważyć, że stopnie swobody rozkładu chi-kwadrat to wielkość próby minus 1.

Statystyka kontrastowa, region odrzucenia i obszar akceptacji

W teście hipotez obszar odrzucenia to obszar wykresu rozkładu statystyki testowej, który implikuje odrzucenie hipotezy zerowej (i akceptację hipotezy alternatywnej). Z drugiej strony obszar akceptacji to obszar wykresu rozkładu statystyki testowej, który implikuje akceptację hipotezy zerowej (i odrzucenie hipotezy alternatywnej).

Zatem wartość statystyki kontrastu determinuje wynik testu hipotezy w następujący sposób:

  • Jeżeli statystyka testowa mieści się w obszarze odrzucenia, hipoteza zerowa zostaje odrzucona i przyjęta zostaje hipoteza alternatywna.
  • Jeśli statystyka testowa mieści się w obszarze akceptacji, hipoteza zerowa jest akceptowana, a hipoteza alternatywna odrzucana.

Wartości oddzielające obszar odrzucenia od obszaru akceptacji nazywane są wartościami krytycznymi . Dlatego musimy obliczyć wartości krytyczne, aby poznać granice obszaru odrzucenia i obszaru akceptacji, a tym samym wiedzieć, kiedy odrzucić, a kiedy zaakceptować hipotezę zerową.

Zobacz: Wartość krytyczna

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *