Kontrast hipotez

Przez Benjamin Anderson 3 sierpnia, 2023 Statystyka 0 komentarzy

W tym artykule wyjaśniono, na czym polega testowanie hipotez w statystyce. Dowiesz się więc, jak przeprowadzić test hipotez, jakie są różne rodzaje testów hipotez i jakie możliwe błędy można popełnić podczas przeprowadzania testu hipotez.

Co to jest testowanie hipotez?

Testowanie hipotez to procedura stosowana do odrzucenia lub odrzucenia hipotezy statystycznej. W teście hipotez oceniamy, czy wartość parametru populacji jest zgodna z wartością obserwowaną w próbie tej populacji.

Oznacza to, że w teście hipotezy analizowana jest próba statystyczna i na podstawie uzyskanych wyników ustala się, czy odrzucić, czy przyjąć wcześniej ustaloną hipotezę.

Należy pamiętać, że ogólnie rzecz biorąc, na podstawie testowania hipotez nie można wnioskować z całkowitą pewnością, że hipoteza jest prawdziwa lub fałszywa, ale można ją po prostu odrzucić lub nie na podstawie uzyskanych wyników. Zatem podczas testowania hipotezy nadal można popełnić błąd, nawet jeśli istnieją dowody statystyczne wskazujące, że podjęta decyzja jest najbardziej prawdopodobna.

W statystyce test hipotezy nazywany jest również testem hipotezy , testem hipotezy lub testem istotności .

Teoria testowania hipotez została stworzona przez angielskiego statystyka Ronalda Fishera, a rozwinięta przez Jerzego Neymana i Egona Pearsona.

Hipoteza zerowa i hipoteza alternatywna

Test hipotez składa się z dwóch typów hipotez statystycznych:

Hipoteza zerowa (H ₀ ) : jest to hipoteza utrzymująca, że początkowa hipoteza, którą mamy odnośnie parametru populacji, jest fałszywa. Hipoteza zerowa jest zatem hipotezą, którą chcemy odrzucić.
Hipoteza alternatywna (H ₁ ) : jest hipotezą badawczą, której prawdziwość ma zostać udowodniona. Oznacza to, że hipoteza alternatywna jest wcześniejszą hipotezą badacza i aby spróbować udowodnić, że jest prawdziwa, zostanie przeprowadzona hipoteza kontrastowa.

W praktyce hipotezę alternatywną formułuje się przed hipotezą zerową, gdyż to ona ma zostać potwierdzona w drodze analizy statystycznej próby danych. Następnie formułuje się hipotezę zerową, po prostu zaprzeczając hipotezie alternatywnej.

Rodzaje testowania hipotez

Testowanie hipotez można podzielić na dwa różne typy:

Dwustronne testowanie hipotez (lub dwustronne testowanie hipotez) : alternatywna hipoteza testowania hipotez stwierdza, że parametr populacji „różni się” od określonej wartości.
Jednostronne testowanie hipotez (lub jednostronne testowanie hipotez) : alternatywna hipoteza testowania hipotez wskazuje, że parametr populacji jest „większy niż” (prawy ogon) lub „mniejszy niż” (lewy ogon) określonej wartości.

Dwustronne testowanie hipotez

$\begin{cases}H_0: \mu=\mu_0\\[2ex]H_1:\mu\neq\mu_0\end{cases}$

Jednostronne testowanie hipotez (prawy ogon)

$\begin{cases}H_0: \mu\leq \mu_0\\[2ex]H_1:\mu>\mu_0\end{cases}” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”65″ width=”102″ style=”vertical-align: 0px;”></p> </p> </div> <div class=$

Jednostronne testowanie hipotez (lewy ogon)

$\begin{cases}H_0: \mu\geq\mu_0\\[2ex]H_1:\mu<\mu_0\end{cases}$

Region odrzucenia i obszar akceptacji testu hipotezy

Jak zobaczymy szczegółowo poniżej, testowanie hipotez polega na obliczeniu wartości charakterystycznej dla każdego rodzaju testu hipotezy, wartość ta nazywana jest statystyką testu hipotezy. Zatem po obliczeniu statystyki kontrastu należy obserwować, w którym z dwóch poniższych regionów się ona znajduje, aby wyciągnąć wnioski:

Region odrzucenia (lub obszar krytyczny) : Jest to obszar wykresu rozkładu odniesienia testującego hipotezę, który polega na odrzuceniu hipotezy zerowej (i zaakceptowaniu hipotezy alternatywnej).
Region akceptacji : Jest to obszar wykresu rozkładu odniesienia testującego hipotezę, który implikuje akceptację hipotezy zerowej (i odrzucenie hipotezy alternatywnej).

Krótko mówiąc, jeśli statystyka testowa mieści się w strefie odrzucenia, hipoteza zerowa zostaje odrzucona i przyjęta zostaje hipoteza alternatywna. I odwrotnie, jeśli statystyka testowa mieści się w obszarze akceptacji, hipoteza zerowa zostaje przyjęta, a hipoteza alternatywna zostaje odrzucona.

Wartości wyznaczające granice obszaru odrzucenia i obszaru akceptacji nazywane są wartościami krytycznymi , podobnie przedział wartości definiujący obszar odrzucenia nazywany jest przedziałem ufności . Obie wartości zależą od wybranego poziomu istotności .

➤ Zobacz: Poziom istotności alfa

Z drugiej strony decyzję o odrzuceniu lub przyjęciu hipotezy zerowej można również podjąć poprzez porównanie wartości p (lub wartości p) uzyskanej z testu hipotezy z wybranym poziomem istotności.

➤ Zobacz: Jaka jest wartość p?

Jak przeprowadzić test hipotezy

Aby przeprowadzić test hipotezy, należy wykonać następujące kroki:

Podaj hipotezę zerową i hipotezę alternatywną testu hipotezy.
Ustal pożądany poziom istotności alfa (α).
Oblicz statystykę kontrastu hipotezy.
Określa wartości krytyczne testu hipotezy, aby poznać obszar odrzucenia i obszar akceptacji testu hipotezy.
Obserwuj, czy statystyka kontrastu hipotezy znajduje się w obszarze odrzucenia, czy w obszarze akceptacji.
Jeśli statystyka mieści się w obszarze odrzucenia, hipoteza zerowa zostaje odrzucona (i zaakceptowana zostaje hipoteza alternatywna). Jeśli jednak statystyka mieści się w strefie akceptacji, hipoteza zerowa zostaje przyjęta (a hipoteza alternatywna zostaje odrzucona).

➤ Zobacz: Testowanie hipotez dla średniej
➤ Zobacz: Testowanie hipotez dotyczących proporcji
➤ Zobacz: Testowanie hipotez pod kątem wariancji

Błędy testowania hipotez

Podczas testowania hipotez, odrzucając jedną hipotezę i akceptując drugą hipotezę testową, można popełnić jeden z dwóch błędów:

Błąd pierwszego rodzaju : Jest to błąd popełniany podczas odrzucania hipotezy zerowej, gdy jest ona rzeczywiście prawdziwa.
Błąd II rodzaju : Jest to błąd polegający na przyjęciu hipotezy zerowej, gdy w rzeczywistości jest ona fałszywa.

Natomiast prawdopodobieństwo popełnienia każdego rodzaju błędu nazywa się następująco:

Prawdopodobieństwo alfa (α) : to prawdopodobieństwo popełnienia błędu I rodzaju.
Prawdopodobieństwo beta (β) : to prawdopodobieństwo popełnienia błędu II rodzaju.

Podobnie moc testowania hipotez definiuje się jako prawdopodobieństwo odrzucenia hipotezy zerowej (H ₀ ), gdy jest ona fałszywa, czyli innymi słowy jest to prawdopodobieństwo wyboru hipotezy alternatywnej (H ₁ ), gdy jest ona prawdziwa. Moc testu hipotezy jest zatem równa 1-β.

Statystyki testowania hipotez

Statystyka testu hipotezy to wartość rozkładu odniesienia testu hipotezy, która jest używana do określenia, czy hipoteza zerowa została odrzucona, czy nie. Jeżeli statystyka testowa mieści się w obszarze odrzucenia, hipoteza zerowa zostaje odrzucona (i przyjmuje się hipotezę alternatywną), natomiast jeśli statystyka testowa mieści się w obszarze akceptacji, hipoteza zerowa jest akceptowana (a hipoteza alternatywna jest odrzucona).hipoteza alternatywna).

Obliczenie statystyki testu hipotezy zależy od rodzaju testu. Dlatego poniżej przedstawiono wzór na obliczenie statystyki dla każdego rodzaju testowania hipotez.

Testowanie hipotez dla średniej

Wzór na statystykę testu hipotezy dla średniej ze znaną wariancją jest następujący:

$\displaystyle Z=\frac{\overline{x}-\mu}{\displaystyle \frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$

Złoto:

$Z$

jest statystyką kontrastu hipotezy dla średniej.
$\overline{x}$

to przykładowe środki.
$\mu$

jest proponowaną wartością średnią.
$\sigma$

jest odchyleniem standardowym populacji.
$n$

to wielkość próbki.

Po obliczeniu statystyki testu hipotezy dla średniej, wynik należy zinterpretować w celu odrzucenia hipotezy zerowej lub nie:

Jeżeli test hipotezy dla średniej jest dwustronny, hipotezę zerową odrzuca się, jeśli wartość bezwzględna statystyki jest większa niż wartość krytyczna Z _α/2 .
Jeśli test hipotezy dla średniej odpowiada prawemu ogonowi, hipoteza zerowa jest odrzucana, jeśli statystyka jest większa niż wartość krytyczna Z _α .
Jeśli test hipotezy dla średniej odpowiada lewemu ogonowi, hipoteza zerowa jest odrzucana, jeśli statystyka jest mniejsza niż wartość krytyczna -Z _α .

$\begin{array}{l}H_1: \mu\neq \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } |Z|>Z_{\alpha/2} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu> \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z>Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu< \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z<-Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\end{array}$

W tym przypadku wartości krytyczne uzyskuje się ze standardowej tabeli rozkładu normalnego.

Z drugiej strony wzór na statystykę testu hipotezy dla średniej o nieznanej wariancji wygląda następująco:

$\displaystyle t=\frac{\overline{x}-\mu}{\displaystyle \frac{s}{\sqrt{n}}}$

Złoto:

$t$

jest statystyką testu hipotezy dla średniej, która jest zdefiniowana przez rozkład t-Studenta.
$\overline{x}$

to przykładowe środki.
$\mu$

jest proponowaną wartością średnią.
$s$

jest odchyleniem standardowym próbki.
$n$

to wielkość próbki.

Tak jak poprzednio, obliczony wynik statystyki testowej należy interpretować z wartością krytyczną, aby odrzucić lub nie hipotezę zerową:

Jeżeli test hipotezy dla średniej jest dwustronny, hipotezę zerową odrzuca się, jeśli wartość bezwzględna statystyki jest większa niż wartość krytyczna t _α/2|n-1 .
Jeśli test hipotezy dla średniej odpowiada prawemu ogonowi, hipoteza zerowa zostaje odrzucona, jeśli statystyka jest większa niż wartość krytyczna t _α|n-1 .
Jeśli test hipotezy dla średniej odpowiada lewemu ogonowi, hipoteza zerowa jest odrzucana, jeśli statystyka jest mniejsza niż wartość krytyczna -t _α|n-1 .

$\begin{array}{l}H_1: \mu\neq \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } |t|>t_{\alpha/2|n-1} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu> \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } t>t_{\alpha|n-1} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu< \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } t<-t_{\alpha|n-1} \text{ se rechaza } H_0\end{array}$

Gdy wariancja nie jest znana, krytyczne wartości testowe uzyskuje się z tabeli rozkładu Studenta.

Testowanie hipotez dotyczących proporcji

Wzór na statystykę testującą hipotezę dotyczącą proporcji jest następujący:

$\displaystyle Z=\frac{\widehat{p}-p}{\displaystyle\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}$

Złoto:

$Z$

jest statystyką testującą hipotezę dla proporcji.
$\widehat{p}$

jest proporcją próbki.
$p$

jest proponowaną wartością proporcji.
$n$

to wielkość próbki.
$\displaystyle\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$

jest odchyleniem standardowym proporcji.

Należy pamiętać, że nie wystarczy obliczyć statystykę testu hipotezy dla proporcji, ale wynik należy następnie zinterpretować:

Jeżeli test hipotezy dla proporcji jest dwustronny, hipotezę zerową odrzuca się, jeśli wartość bezwzględna statystyki jest większa niż wartość krytyczna Z _α/2 .
Jeśli test hipotezy dla proporcji odpowiada prawemu ogonowi, hipoteza zerowa jest odrzucana, jeśli statystyka jest większa niż wartość krytyczna Z _α .
Jeśli test hipotezy dla proporcji odpowiada lewemu ogonowi, hipoteza zerowa jest odrzucana, jeśli statystyka jest mniejsza niż wartość krytyczna -Z _α .

$\begin{array}{l}H_1: p\neq p_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } |Z|>Z_{\alpha/2} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: p> p_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z>Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: p< p_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z<-Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\end{array}$

Pamiętaj, że wartości krytyczne można łatwo uzyskać ze standardowej tabeli rozkładu normalnego.

Testowanie hipotez pod kątem wariancji

Wzór na obliczenie statystyki testu hipotezy dla wariancji jest następujący:

$\chi^2=\cfrac{(n-1)s^2}{\sigma^2}$

Złoto:

$\chi^2$

jest statystyką testującą hipotezę dotyczącą wariancji, która ma rozkład chi-kwadrat.
$n$

to wielkość próbki.
$s^2$

jest wariancją próbki.
$\sigma^2$

jest wariancją proponowanej populacji.

Aby zinterpretować wynik statystyki, uzyskaną wartość należy porównać z wartością krytyczną testu.

Jeśli test hipotezy na wariancję jest dwustronny, hipoteza zerowa jest odrzucana, jeśli statystyka jest większa niż wartość krytyczna.
$\chi_{1-\alpha/2|n-1}^2$

lub jeśli wartość krytyczna jest mniejsza niż

$\chi_{\alpha/2|n-1}$

.
Jeśli test hipotezy dla wariancji pasuje do prawego ogona, hipoteza zerowa jest odrzucana, jeśli statystyka jest większa niż wartość krytyczna
$\chi_{1-\alpha|n-1}^2$

.
Jeżeli test hipotezy pod kątem wariancji pasuje do lewego ogona, hipoteza zerowa zostaje odrzucona, jeśli statystyka jest mniejsza niż wartość krytyczna
$\chi_{\alpha|n-1}$

.

$\begin{array}{l}H_1: \sigma^2\neq \sigma_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } \chi^2>\chi^2_{1-\alpha/2|n-1}\text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \sigma^2\neq \sigma_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si }\chi^2<\chi^2_{\alpha/2|n-1}\text{ se rechaza } H_0 \\[3ex]H_1: \sigma^2> \sigma_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } \chi^2>\chi^2_{1-\alpha|n-1}\text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \sigma^2< \sigma_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } \chi^2<\chi^2_{\alpha|n-1}\text{ se rechaza } H_0\end{array}$

Wartości testowe hipotezy krytycznej dla wariancji uzyskuje się z tabeli rozkładu chi-kwadrat. Należy zauważyć, że stopnie swobody rozkładu Chi-kwadrat to wielkość próby minus 1.

o autorze

Dr Benjamin Anderson

Cześć, jestem Benjamin i jestem emerytowanym profesorem statystyki, który został oddanym nauczycielem Statorials. Dzięki bogatemu doświadczeniu i wiedzy specjalistycznej w dziedzinie statystyki chętnie dzielę się swoją wiedzą, aby wzmocnić pozycję uczniów za pośrednictwem Statorials. Wiedzieć więcej

Co to jest testowanie hipotez?

Hipoteza zerowa i hipoteza alternatywna

Rodzaje testowania hipotez

Region odrzucenia i obszar akceptacji testu hipotezy

Jak przeprowadzić test hipotezy

Błędy testowania hipotez

Statystyki testowania hipotez

Testowanie hipotez dla średniej

Testowanie hipotez dotyczących proporcji

Testowanie hipotez pod kątem wariancji

o autorze

Dr Benjamin Anderson

Dodaj komentarz