Jak znaleźć prawdopodobieństwo „co najmniej trzech” sukcesu

Aby obliczyć prawdopodobieństwo co najmniej trzech sukcesów w serii prób, możemy skorzystać z następującego wzoru ogólnego:

 P(at least 3) = 1 - P(0 successes) - P(1 success) - P(2 successes)

W powyższym wzorze możemy obliczyć każde prawdopodobieństwo, korzystając z następującego wzoru na rozkład dwumianowy :

P(X=k) = _n C _k * p ^k * (1-p) ^nk

Złoto:

• n: liczba prób
• k: liczba sukcesów
• p: prawdopodobieństwo sukcesu w danej próbie
• _n C _k : liczba sposobów uzyskania k sukcesów w n próbach

Poniższe przykłady pokazują, jak wykorzystać tę formułę do obliczenia prawdopodobieństwa „co najmniej trzech” sukcesów w różnych scenariuszach.

Przykład 1: Próby rzutów wolnych

Ty wykonuje 25% swoich prób rzutów wolnych. Jeśli wykona 5 rzutów wolnych, znajdź prawdopodobieństwo, że wykona co najmniej trzy.

Najpierw obliczmy prawdopodobieństwo, że wykona dokładnie zero, dokładnie jeden lub dokładnie dwa rzuty wolne:

P(X=0) = ₅ C ₀ * 0,25 ⁰ * (1-0,25) ^5-0 = 1 * 1 * 0,75 ⁵ = 0,2373

P(X=1) = ₅ C ₁ * 0,25 ¹ * (1-0,25) ^5-1 = 5 * 0,25 * 0,75 ⁴ = 0,3955

P(X=2) = ₅ C ₂ * 0,25 ² * (1-0,25) ^5-2 = 10 * 0,0625 * 0,75 ³ = 0,2636

Następnie podłączmy te wartości do poniższego wzoru, aby znaleźć prawdopodobieństwo, że Ty wykona co najmniej trzy rzuty wolne:

• P(X≥3) = 1 – P(X=0) – P(X=1) – P(X=2)
• P(X≥3) = 1 – 0,2373 – 0,3955 – 0,2636
• P(X≥3) = 0,1036

Prawdopodobieństwo, że Ty wykona co najmniej trzy rzuty wolne w pięciu próbach, wynosi 0,1036 .

Przykład 2: Widżety

W danej fabryce 2% wszystkich widgetów jest wadliwych. W losowej próbie 10 widżetów określ prawdopodobieństwo, że co najmniej dwa są wadliwe.

Najpierw obliczmy prawdopodobieństwo, że dokładnie zero, dokładnie jeden lub dokładnie dwa są wadliwe:

P(X=0) = ₁₀ C ₀ * 0,02 ⁰ * (1-0,02) ^10-0 = 1 * 1 * 0,98 ¹⁰ = 0,8171

P(X=1) = ₁₀ C ₁ * 0,02 ¹ * (1-0,02) ^10-1 = 10 * 0,02 * 0,98 ⁹ = 0,1667

P(X=2) = ₁₀ C ₂ * 0,02 ² * (1-0,02) ^10-2 = 45 * 0,0004 * 0,98 ⁸ = 0,0153

Następnie podstawiamy te wartości do poniższego wzoru, aby znaleźć prawdopodobieństwo, że co najmniej trzy widżety są wadliwe:

• P(X≥3) = 1 – P(X=0) – P(X=1) – P(X=2)
• P(X≥3) = 1 – 0,8171 – 0,1667 – 0,0153
• P(X≥3) = 0,0009

Prawdopodobieństwo, że w tej losowej próbie 10 co najmniej trzech widżetów są wadliwe, wynosi 0,0009 .

Przykład 3: Pytania o ciekawostki

Bob poprawnie odpowiada na 60% pytań związanych z ciekawostkami. Jeśli zadamy mu 5 pytań o ciekawostki, znajdź prawdopodobieństwo, że odpowie poprawnie na co najmniej trzy.

Najpierw obliczmy prawdopodobieństwo, że odpowie dokładnie zero, dokładnie jeden lub dokładnie dwa:

P(X=0) = ₅ C ₀ * 0,60 ⁰ * (1-0,60) ^5-0 = 1 * 1 * 0,40 ⁵ = 0,01024

P(X=1) = ₅ C ₁ * 0,60 ¹ * (1-0,60) ^5-1 = 5 * 0,60 * 0,40 ⁴ = 0,0768

P(X=2) = ₅ C ₂ * 0,60 ² * (1-0,60) ^5-2 = 10 * 0,36 * 0,40 ³ = 0,2304

Następnie podstawiamy te wartości do poniższego wzoru, aby znaleźć prawdopodobieństwo, że odpowie poprawnie na co najmniej trzy pytania:

• P(X≥3) = 1 – P(X=0) – P(X=1) – P(X=2)
• P(X≥3) = 1 – 0,01024 – 0,0768 – 0,2304
• P(X≥3) = 0,6826

Prawdopodobieństwo, że odpowie poprawnie na co najmniej trzy z pięciu pytań, wynosi 0,6826 .

Bonus: Prawdopodobieństwo co najmniej trzech kalkulatorów

Użyj tego kalkulatora, aby automatycznie obliczyć prawdopodobieństwo „co najmniej trzech” sukcesów na podstawie prawdopodobieństwa sukcesu w danej próbie i całkowitej liczby prób.