Próba z

Przez Benjamin Anderson 3 sierpnia, 2023 Statystyka 0 komentarzy

W tym artykule wyjaśniono, czym jest test Z w statystyce i do czego służy. W ten sposób dowiesz się, jak wykonać test Z, różne formuły testu Z i wreszcie różnicę między testem Z a innymi testami statystycznymi.

Co to jest test Z?

W statystyce test Z jest testem hipotez stosowanym, gdy statystyka testowa ma rozkład normalny. Statystyka uzyskana z testu Z nazywana jest statystyką Z lub wartością Z.

Wzór testu Z jest zawsze taki sam, a dokładniej statystyka testu Z jest równa różnicy pomiędzy obliczoną wartością próby a proponowaną wartością populacji podzieloną przez odchylenie standardowe parametru populacji.

$Z=\cfrac{\widehat{X}-X}{\sigma_{_X}}$

Test Z służy do odrzucenia lub przyjęcia hipotezy zerowej w przypadku testów hipotez, w których statystyka testowa ma rozkład normalny.

Na przykład test Z służy do testowania hipotezy średniej, gdy znana jest wariancja populacji, w celu odrzucenia lub przyjęcia hipotezy o wartości średniej populacji.

➤ Zobacz: Co to jest testowanie hipotez?

Rodzaje testów Z

W zależności od parametru, na podstawie którego przeprowadzany jest test hipotezy, można wyróżnić różne typy testów Z:

Test Z dla średniej.
Test Z na proporcję.
Test Z dla różnicy średnich.
Test Z na różnicę proporcji.

Poniżej możesz zobaczyć wzór dla każdego rodzaju testu Z.

Test Z dla średniej

Wzór testu Z na średnią to:

$\displaystyle Z=\frac{\overline{x}-\mu}{\displaystyle \frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$

Złoto:

$Z$

jest statystyką testu Z dla średniej.
$\overline{x}$

to przykładowe środki.
$\mu$

jest proponowaną wartością średnią.
$\sigma$

jest odchyleniem standardowym populacji.
$n$

to wielkość próbki.

Po obliczeniu statystyki testu hipotezy dla średniej, wynik należy zinterpretować w celu odrzucenia lub odrzucenia hipotezy zerowej:

Jeżeli test hipotezy dla średniej jest dwustronny, hipotezę zerową odrzuca się, jeśli wartość bezwzględna statystyki jest większa niż wartość krytyczna Z _α/2 .
Jeśli test hipotezy dla średniej odpowiada prawemu ogonowi, hipoteza zerowa jest odrzucana, jeśli statystyka jest większa niż wartość krytyczna Z _α .
Jeśli test hipotezy dla średniej odpowiada lewemu ogonowi, hipoteza zerowa jest odrzucana, jeśli statystyka jest mniejsza niż wartość krytyczna -Z _α .

$\begin{array}{l}H_1: \mu\neq \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } |Z|>Z_{\alpha/2} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu> \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z>Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu< \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z<-Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\end{array}$

Wartości krytyczne testu Z uzyskuje się ze standardowej tabeli rozkładu normalnego.

➤ Zobacz: Testowanie hipotez dla średniej

Test Z na proporcję

Wzór testu Z na proporcję to:

$\displaystyle Z=\frac{\widehat{p}-p}{\displaystyle\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}$

Złoto:

$Z$

jest statystyką testową Z dla proporcji.
$\widehat{p}$

jest proporcją próbki.
$p$

jest wartością proponowanej proporcji.
$n$

to wielkość próbki.
$\displaystyle\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$

jest odchyleniem standardowym proporcji.

Należy pamiętać, że nie wystarczy obliczyć statystykę testu Z dla proporcji, ale należy następnie zinterpretować uzyskany wynik:

Jeżeli test hipotezy dla proporcji jest dwustronny, hipotezę zerową odrzuca się, jeśli wartość bezwzględna statystyki jest większa niż wartość krytyczna Z _α/2 .
Jeśli test hipotezy dla proporcji odpowiada prawemu ogonowi, hipoteza zerowa jest odrzucana, jeśli statystyka jest większa niż wartość krytyczna Z _α .
Jeśli test hipotezy dla proporcji odpowiada lewemu ogonowi, hipoteza zerowa jest odrzucana, jeśli statystyka jest mniejsza niż wartość krytyczna -Z _α .

$\begin{array}{l}H_1: p\neq p_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } |Z|>Z_{\alpha/2} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: p> p_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z>Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: p< p_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z<-Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\end{array}$

➤ Zobacz: Testowanie hipotez dotyczących proporcji

Test Z dla różnicy średnich

Wzór na obliczenie statystyki testu Z dla różnicy średnich jest następujący:

$\displaystyle Z=\frac{\displaystyle (\overline{x_1}-\overline{x_2})-(\mu_1-\mu_2)}{\displaystyle\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}}$

Złoto:

$Z$

jest statystyką testu Z dla różnicy dwóch średnich o znanej wariancji, która jest zgodna ze standardowym rozkładem normalnym.
$\mu_1$

jest średnią populacji 1.
$\mu_2$

jest średnią populacji 2.
$\overline{x_1}$

jest średnią próbki 1.
$\overline{x_2}$

jest średnią próbki 2.
$\sigma_1$

jest odchyleniem standardowym populacji 1.
$\sigma_2$

jest odchyleniem standardowym populacji 2.
$n_1$

to próbka o wielkości 1.
$n_2$

to próbka o wielkości 2.

➤ Zobacz: Testowanie hipotez dla różnicy średnich

Test Z na różnicę proporcji

Wzór na obliczenie statystyki testu Z dla różnicy proporcji dwóch populacji jest następujący:

$\displaystyle Z=\frac{\displaystyle (\widehat{p_1}-\widehat{p_2})-(p_1-p_2)}{\displaystyle \sqrt{p_0(1-p_0)\left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}\right)}}$

Złoto:

$Z$

jest statystyką testu Z dla różnicy proporcji.
$p_1$

to odsetek ludności 1.
$p_2$

to odsetek ludności 2.
$\widehat{p_1}$

jest proporcją próbki 1.
$\widehat{p_2}$

to proporcja próbki 2.
$n_1$

to próbka o wielkości 1.
$n_2$

to próbka o wielkości 2.
$p_0$

jest łączną proporcją dwóch próbek.

Łączną proporcję dwóch próbek oblicza się w następujący sposób:

$p_0=\cfrac{x_1+x_2}{n_1+n_2}$

Złoto

$x_i$

to liczba wyników w próbie iy

$n_i$

to wielkość próbki, tj.

➤ Zobacz: Testowanie hipotez dla różnicy proporcji

Jak wykonać test Z

Teraz, gdy wiemy, jakie są różne formuły testu Z, zobaczmy, jak przeprowadzić test Z.

Etapy wykonania testu Z są następujące.

Zdefiniuj hipotezę zerową i hipotezę alternatywną testowania hipotez.
Zdecyduj o poziomie istotności alfa (α) testu hipotezy.
Sprawdź, czy spełnione są wymagania dotyczące testu Z.
Zastosuj odpowiedni wzór testu Z i oblicz statystykę testową.
Zinterpretuj wynik testu Z, porównując go z krytyczną wartością testu.

Test Z i test t

Na koniec zobaczymy, jaka jest różnica między testem Z a testem t, ponieważ z pewnością są to dwa rodzaje testów hipotez najczęściej stosowanych w statystyce.

Test t , zwany także testem t-Studenta , jest testem hipotez stosowanym, gdy badana populacja ma rozkład normalny, ale wielkość próby jest zbyt mała, aby poznać wariancję populacji.

Dlatego główna różnica między stosowaniem testu Z i testu t polega na tym, czy wariancja jest znana, czy nie. Gdy znana jest wariancja populacji, stosuje się test Z, natomiast gdy wariancja populacji jest nieznana, stosuje się test t.

➤ Zobacz: test t (statystyki)

o autorze

Dr Benjamin Anderson

Cześć, jestem Benjamin i jestem emerytowanym profesorem statystyki, który został oddanym nauczycielem Statorials. Dzięki bogatemu doświadczeniu i wiedzy specjalistycznej w dziedzinie statystyki chętnie dzielę się swoją wiedzą, aby wzmocnić pozycję uczniów za pośrednictwem Statorials. Wiedzieć więcej

Co to jest test Z?

Rodzaje testów Z

Test Z dla średniej

Test Z na proporcję

Test Z dla różnicy średnich

Test Z na różnicę proporcji

Jak wykonać test Z

Test Z i test t

o autorze

Dr Benjamin Anderson

Dodaj komentarz