Estymacja parametrów

W tym artykule wyjaśniono, czym jest estymacja parametrów w statystyce. W ten sposób dowiesz się, jak parametr jest szacowany w statystyce, jakie są różne rodzaje szacunków i przykłady oszacowań parametrów.

Co to jest estymacja parametrów?

Estymacja parametrów to statystyczna metoda szacowania wartości parametru populacji na podstawie próby. Oznacza to, że w statystyce estymacja parametrów służy do przybliżenia parametru populacji poprzez wykonanie obliczeń na próbkach danych.

Ogólnie rzecz biorąc, parametry populacji nie są znane i jest ona zazwyczaj zbyt duża, aby zbadać wszystkie jej osobniki. W ten sposób pobiera się próbę populacji, próbkę tę poddaje się analizie statystycznej i na koniec uzyskane wyniki wyprowadza się z całej populacji. Zatem estymacja parametrów statystycznych pozwala nam mieć przybliżone wyobrażenie o wartościach parametrów populacji.

Przy szacowaniu parametru zawsze istnieje margines błędu. Ponieważ rzeczywista wartość parametru populacji jest zwykle nieznana, przy szacowaniu parametru dokonuje się przybliżenia, w związku z czym może wystąpić rozbieżność między wartością rzeczywistą a wartością przybliżoną.

Rodzaje estymatorów parametrów

W statystyce istnieją dwa rodzaje oszacowań parametrów :

• Estymacja parametru specyficznego : polega na oszacowaniu wartości parametru populacji do określonej wartości. Zazwyczaj wartość parametru próbki służy do oszacowania parametru populacji.
• Estymacja parametrów przedziałami : polega na estymacji parametru populacji za pomocą przedziału. Zatem zamiast aproksymować parametr populacji do pojedynczej wartości, przybliża on zakres wartości.

Estymacja punktowa jest bardziej precyzyjna niż estymacja przedziałowa, ponieważ ogranicza przybliżenie do pojedynczej wartości. Jednak estymacja przedziałowa jest bardziej wiarygodna, ponieważ prawdziwa wartość parametru z większym prawdopodobieństwem będzie mieścić się w przedziale, niż określenie jego dokładnej wartości na podstawie estymacji punktowej.

Punktowe oszacowanie

Estymacja punktowa polega na oszacowaniu dokładnej wartości parametru populacji na podstawie przykładowych danych. Oznacza to, że estymacja punktowa zapewnia konkretną wartość parametru populacji, wykorzystując przykładową wartość parametru jako odniesienie.

Przykładowo, aby wyznaczyć średnią z populacji liczącej 1000 osób, możemy dokonać oszacowania punktowego i obliczyć wartość średniej z próby liczącej 50 osób. Możemy zatem przyjąć wartość średniej próbki jako punktowe oszacowanie średniej populacji.

Zatem estymator jest próbną statystyką używaną do oszacowania wartości parametru populacji. Zatem wartość parametru próby uważa się za estymację wartości parametru populacji.

Przedział estymacji

Estymacja przedziałowa polega na szacowaniu wartości parametru populacji za pomocą przedziału. Mówiąc dokładniej, estymacja przedziałowa polega na obliczeniu przedziału, w którym wartość parametru najprawdopodobniej spadnie przy określonym poziomie ufności.

Na przykład, jeśli w estymacji przedziałowej stwierdzimy, że przedział ufności dla średniej populacji wynosi (3,7) przy poziomie ufności 95%, oznacza to, że średnia badanej populacji będzie wynosić od 3 do 7 z prawdopodobieństwem 95 %.

Przedział, który zapewnia oszacowanie przedziału, nazywany jest przedziałem ufności. Zatem przedział ufności jest przedziałem, który pozwala oszacować, z marginesem błędu, wartości, pomiędzy którymi mieści się wartość parametru populacji. Krótko mówiąc, przedział ufności jest wynikiem uzyskanym z oszacowania przedziału. Aby obliczyć przedział ufności oszacowania przedziału, należy zastosować odpowiedni wzór:

Przykład oszacowania parametru

Kiedy już poznamy definicję estymacji parametrów i jakie są różne typy estymacji parametrów, zobaczymy przykład, w jaki sposób można estymować parametr populacji.

• W badaniach rynku chcemy określić średnią cenę słuchawek. Modeli jest jednak na tyle dużo, że nie da się zbadać ceny wszystkich, dlatego zdecydowano się na próbę pięciu marek, które w zeszłym roku sprzedały najwięcej słuchawek (dane poniżej). Oszacowanie średniej ceny ludności sporadycznie i okresowo.

25 8 14 19 12

Aby dokładnie oszacować średnią populacji, wystarczy obliczyć średnią danych próbki. Stosujemy więc wzór arytmetyczny na średnią:

Będziemy jednak szacować według przedziałów z poziomem ufności 95%, ponieważ jest to najczęstszy poziom ufności. Zatem w celu przeprowadzenia estymacji przedziałowej należy zastosować wzór na przedział ufności dla średniej :

Błąd szacunkowy

W praktyce bardzo trudno jest dokonać dokładnego oszacowania prawdziwej wartości parametru, dlatego często w oszacowaniu pojawia się błąd. Logicznie rzecz biorąc, musimy spróbować zminimalizować błąd oszacowania.

Znając zatem wartość parametru populacji, możemy obliczyć błąd estymacji, który definiuje się jako różnicę pomiędzy wartością oszacowaną a wartością rzeczywistą parametru.

Złoto

jest wartością oszacowania i

jest rzeczywistą wartością parametru.

Można również obliczyć błąd średniokwadratowy (MSE), który jest średnią kwadratów błędów. Należy zauważyć, że błąd średniokwadratowy reprezentuje wariancję estymatora.

Gdy nie jest znana prawdziwa wartość parametru populacji, co jest najczęstszym przypadkiem, zwykle przeprowadza się test hipotezy, aby sprawdzić, czy oszacowanie jest prawidłowe.