Operacje na zdarzeniach

Tutaj wyjaśniamy, jakie operacje można wykonać na zdarzeniach i jak obliczany jest każdy typ operacji na zdarzeniach. Dodatkowo możesz ćwiczyć, wykonując ćwiczenia krok po kroku dotyczące operacji na zdarzeniach.

Rodzaje operacji na zdarzeniach

W teorii prawdopodobieństwa istnieją trzy rodzaje operacji na zdarzeniach, którymi są:

  • Suma zdarzeń : prawdopodobieństwo wystąpienia tego lub innego zdarzenia.
  • Przecięcie zdarzeń : jest to łączne prawdopodobieństwo dwóch lub więcej zdarzeń.
  • Różnica w zdarzeniu : Jest to prawdopodobieństwo, że jedno zdarzenie wystąpi, ale inne nie wystąpi w tym samym czasie.

Po prostu definiując każdy typ operacji na zdarzeniach, trudno jest zrozumieć, w jaki sposób każdy typ operacji jest wykonywany. Dlatego poniżej wyjaśnimy te trzy operacje bardziej szczegółowo.

połączenie wydarzeń

Suma dwóch zdarzeń A i B to prawdopodobieństwo, że zdarzenie A, zdarzenie B lub oba zdarzenia wystąpią w tym samym czasie.

Symbolem połączenia dwóch różnych wydarzeń jest litera U, więc połączenie dwóch wydarzeń wyraża się literą U pośrodku dwóch liter reprezentujących te zdarzenia.

A\cup B

Prawdopodobieństwo sumy dwóch zdarzeń jest równe sumie prawdopodobieństwa wystąpienia każdego zdarzenia pomniejszonej o prawdopodobieństwo przecięcia się dwóch zdarzeń.

P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)

Na przykład obliczymy prawdopodobieństwo zdarzenia „wyrzucimy liczbę parzystą” lub „wyrzucimy liczbę większą niż 4” podczas rzucania kostką.

Istnieją trzy możliwości uzyskania parzystej liczby przy rzucie kostką (2, 4 i 6), więc prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia wynosi:

A=\{2,4,6\}

P(A)=\cfrac{3}{6}=0,5

Z drugiej strony są tylko dwie liczby większe od czterech (5 i 6), zatem ich prawdopodobieństwo wynosi:

B=\{5,6\}

P(B)=\cfrac{2}{6}=0,33

A przecięcie dwóch zdarzeń odpowiada liczbom, które pojawiają się w obu zdarzeniach, więc:

A\cap B=\{6\}

P(A\cap B)=\cfrac{1}{6}=0,167

Krótko mówiąc, łącząc zdarzenia A i B, prawdopodobieństwo wystąpienia będzie wynosić:

\begin{aligned}P(A\cup B)& =P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\[2ex] & =0,5+0,33-0,167\\[2ex] &=0,67\end{aligned}

skrzyżowanie wydarzeń

Przecięcie dwóch zdarzeń A i B to prawdopodobieństwo, że oba zdarzenia A i B wystąpią w tym samym czasie.

Symbol przecięcia dwóch zdarzeń jest reprezentowany przez odwrócone U.

A\cap B

Prawdopodobieństwo przecięcia dwóch zdarzeń jest równe iloczynowi prawdopodobieństw każdego zdarzenia z osobna.

P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)

Oczywiście, aby obliczyć prawdopodobieństwo przecięcia dwóch zdarzeń, te dwa zdarzenia muszą być zgodne.

Jako przykład obliczymy prawdopodobieństwo, że zdarzenia „uzyskają liczbę parzystą” i „uzyskają liczbę większą niż 4” przetną się podczas rzutu kostką.

Jak obliczyliśmy powyżej, prawdopodobieństwo wystąpienia każdego zdarzenia z osobna wynosi:

A=\{2,4,6\}

P(A)=\cfrac{3}{6}=0,5

B=\{5,6\}

P(B)=\cfrac{2}{6}=0,33

Zatem prawdopodobieństwo przecięcia dwóch zdarzeń będzie pomnożeniem prawdopodobieństw każdego zdarzenia:

\begin{aligned}P(A\cap B)& =P(A)\cdot P(B)\\[2ex] & =0,5\cdot 0,33\\[2ex] &=0,167\end{aligned}

różnica wydarzeń

Różnica dwóch zdarzeń A minus B odpowiada wszystkim elementarnym zdarzeniom A, których nie ma w B. Innymi słowy, w różnicy dwóch zdarzeń A minus B zdarzenie A jest spełnione, ale zdarzenie B nie może być spełnione jednocześnie.

A-B

Prawdopodobieństwo różnicy między dwoma zdarzeniami A i B jest równe prawdopodobieństwu wystąpienia zdarzenia A minus prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzeń elementarnych wspólnych dla A i B.

P(A-B)=P(A)-P(A\cap B)

Kierując się tym samym przykładem co w dwóch poprzednich rodzajach operacji, prawdopodobieństwo tego zdarzenia wyznaczymy z różnicy zdarzenia „uzyskanie liczby parzystej” minus „uzyskanie liczby większej niż 4” podczas rzutu kostkami.

Prawdopodobieństwa wystąpienia zdarzeń A, B i ich przecięcia są następujące (szczegółowe obliczenia możesz zobaczyć powyżej):

A=\{2,4,6\}

P(A)=\cfrac{3}{6}=0,5

B=\{5,6\}

P(B)=\cfrac{2}{6}=0,33

A\cap B= \{6\}

P(A\cap B)=\cfrac{1}{6}= 0,167

Prawdopodobieństwo wystąpienia różnicy między dwoma zdarzeniami wynosi zatem:

\begin{aligned}P(A-B)&=P(A)-P(A\cap B)\\[2ex] & =0,5-0,167\\[2ex] & =0,33\end{aligned}

Co ciekawe, różnica zdarzeń AB ma tę właściwość, że jest również równoważna przecięciu zdarzenia A i zdarzenia uzupełniającego (lub przeciwnego) zdarzenia B.

A-B=A\cap\overline{B}

Rozwiązane ćwiczenia dotyczące operacji na zdarzeniach

Ćwiczenie 1

Jeśli rzucisz sześciościenną kostką, jakie jest prawdopodobieństwo, że otrzymasz liczbę nieparzystą lub liczbę mniejszą niż 3?

W tym ćwiczeniu musimy obliczyć prawdopodobieństwo wystąpienia tego lub innego zdarzenia, a zatem musimy znaleźć prawdopodobieństwo połączenia tych dwóch zdarzeń.

Dlatego najpierw obliczamy prawdopodobieństwo otrzymania liczby nieparzystej, stosując prawo Laplace’a:

 P(\text{n\'umero impar})=\cfrac{3}{6}=0,5

Po drugie, określamy prawdopodobieństwo otrzymania liczby mniejszej niż 3:

 P(\text{n\'umero menor que 3})=\cfrac{2}{6}=0,33

Obliczmy teraz prawdopodobieństwo powtórzenia się zdarzeń elementarnych, które jest tylko liczbą 1 (tylko nieparzystą mniejszą niż 3):

 P(\text{n\'umero impar y menor que 3})=\cfrac{1}{6}=0,167

Na koniec stosujemy wzór na sumę dwóch zdarzeń, aby obliczyć ich prawdopodobieństwo:

\begin{aligned}P(A\cup B)& =P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\[2ex] & =0,5+0,33-0,167\\[2ex] &=0,67\end{aligned}

Ćwiczenie 2

Do pudełka wkładamy 3 kule pomarańczowe, 2 niebieskie i 5 białych. Wykonujemy losowy eksperyment polegający na podniesieniu piłki, włożeniu jej z powrotem do pudełka, a następnie wyjęciu kolejnej piłki. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w pierwszym przypadku wylosujemy kulę niebieską, a w drugiej pomarańczową?

Aby rozwiązać ten problem, musimy obliczyć przecięcie dwóch zdarzeń, ponieważ chcemy, aby oba zdarzenia elementarne były prawdziwe.

Dlatego najpierw obliczamy prawdopodobieństwo złapania niebieskiej piłki, stosując regułę Laplace’a:

P(\text{sacar bola azul})=\cfrac{2}{3+2+5}=0,2

Następnie znajdujemy prawdopodobieństwo otrzymania kulki pomarańczowej:

P(\text{sacar bola naranja})=\cfrac{3}{3+2+5}=0,3

I na koniec obliczamy prawdopodobieństwo przecięcia dwóch zdarzeń, mnożąc dwa znalezione prawdopodobieństwa:

\begin{aligned}P(A\cap B)& =P(A)\cdot P(B)\\[2ex] & =0,2\cdot 0,3\\[2ex] &=0,06\end{aligned}

Podsumowując, szansa na złapanie niebieskiej piłki w pierwszej próbie i pomarańczowej w drugiej próbie wynosi tylko 6%.

Ćwiczenie 3

Prawdopodobieństwo, że Marta zda egzamin wynosi 1/3, a prawdopodobieństwo, że Juan zda ten sam egzamin wynosi 2/5. Jakie jest prawdopodobieństwo, że Marta odniesie sukces, a Juan poniesie porażkę?

W tym ćwiczeniu musimy obliczyć różnicę między tymi dwoma zdarzeniami, ponieważ chcemy, aby Marta wyraziła zgodę, ale nie Juan. W tym celu wystarczy skorzystać ze wzoru na tego typu operacje na zdarzeniach:

\begin{array}{l}\displaystyle A-B =A\cap\overline{B}=\\[2ex]\displaystyle =\frac{1}{3}\cdot \left(1-\frac{2}{5}\right) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{5}=\\[3ex] =\cfrac{3}{15} = 0,2\end{array}

Prawdopodobieństwo, że Marta odniesie sukces, a Juan poniesie porażkę w tym samym czasie, wynosi zatem 20%.

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *