Regresja nieliniowa

W tym artykule wyjaśniono, czym jest regresja nieliniowa i jakie są jej cechy. Przedstawione są także różne typy regresji nieliniowej, a ponadto można zobaczyć różnice pomiędzy regresją nieliniową a regresją liniową.

Co to jest regresja nieliniowa?

W statystyce regresja nieliniowa jest rodzajem regresji, w której funkcja nieliniowa jest wykorzystywana jako model równania regresji. Dlatego równanie modelu regresji nieliniowej jest funkcją nieliniową.

Logicznie rzecz biorąc, regresję nieliniową stosuje się do powiązania zmiennej niezależnej ze zmienną zależną, gdy związek między dwiema zmiennymi nie jest liniowy. Jeśli więc podczas tworzenia wykresu przykładowych danych zaobserwujemy, że nie mają one zależności liniowej, to znaczy nie tworzą w przybliżeniu linii prostej, lepiej „użyć modelu regresji nieliniowej”.

Na przykład równanie y=3-5x-8x ² +x ³ jest modelem regresji nieliniowej, ponieważ matematycznie wiąże zmienną niezależną X ze zmienną zależną Y za pomocą funkcji sześciennej.

Rodzaje regresji nieliniowej

Rodzaje regresji nieliniowej to:

• Regresja wielomianowa : regresja nieliniowa, której równanie ma postać wielomianu.
• Regresja logarytmiczna : Regresja nieliniowa, w której zmienną niezależną przyjmuje się jako logarytm.
• Regresja wykładnicza : Regresja nieliniowa, w której zmienna niezależna znajduje się w wykładniku równania.

Każdy typ regresji nieliniowej wyjaśniono bardziej szczegółowo poniżej.

Regresja wielomianowa

Regresja wielomianowa lub regresja wielomianowa to model regresji nieliniowej, w którym związek między zmienną niezależną X a zmienną zależną Y jest modelowany za pomocą wielomianu.

Regresja wielomianowa jest przydatna do dopasowywania zbiorów danych, których wykresy są krzywymi wielomianowymi. Jeśli zatem wykres punktowy próbki danych ma kształt paraboli, lepszym rozwiązaniem będzie skonstruowanie modelu regresji kwadratowej niż modelu regresji liniowej. W ten sposób równanie modelu regresji będzie lepiej pasować do próbki danych.

Równanie modelu regresji wielomianowej to y=β ₀ +β ₁ x+β ₂ x ² +β ₃ x ³ …+β _m x ^m .

Złoto:

• 

  jest zmienną zależną.

• 

  jest zmienną niezależną.

• 

  jest stałą równania regresji wielomianowej.

• 

  jest współczynnikiem regresji powiązanym ze zmienną

  

  .

Poniżej możesz zobaczyć przykładowe dane przedstawione na wykresie z odpowiednim równaniem regresji wielomianowej:

Regresja logarytmiczna

Regresja logarytmiczna to model regresji nieliniowej, który w swoim równaniu uwzględnia logarytm. W szczególności w regresji logarytmicznej uwzględnia się logarytm zmiennej niezależnej.

Regresja logarytmiczna umożliwia dopasowanie modelu regresji, gdy przykładowe dane tworzą krzywą logarytmiczną, dzięki czemu model regresji lepiej dopasowuje się do przykładowych danych.

Wzór na równanie regresji logarytmicznej to y=a+b·ln(x).

Złoto:

• 

  jest zmienną zależną.

• 

  jest zmienną niezależną.

• 

  są współczynnikami regresji.

Na poniższym wykresie widać zbiór danych i dopasowanie modelu regresji logarytmicznej do danych. Jak widać, równanie logarytmiczne lepiej pasuje do wykresu punktowego niż linii prostej.

Regresja wykładnicza

Regresja wykładnicza to model regresji nieliniowej, którego równanie ma postać funkcji wykładniczej. Dlatego w regresji wykładniczej zmienna niezależna i zmienna zależna są powiązane zależnością wykładniczą.

Wzór na równanie modelu regresji wykładniczej to y=a·e ^b·x . Dlatego równanie regresji wykładniczej ma współczynnik (a) mnożący liczbę e i inny współczynnik wykładniczego mnożącego zmienną niezależną.

Zatem wzór na regresję wykładniczą wygląda następująco:

Złoto:

• 

  jest zmienną zależną.

• 

  jest zmienną niezależną.

• 

  są współczynnikami regresji.

Jak widać na poniższym obrazku, wykres punktowy ma kształt krzywej wykładniczej, ponieważ dane rosną coraz szybciej. Właśnie dlatego model regresji wykładniczej pasuje do tej próbki danych lepiej niż prosty model regresji liniowej.

Regresja nieliniowa i regresja liniowa

Na koniec, podsumowując, zobaczmy, jaka jest różnica między modelem regresji nieliniowej a modelem regresji liniowej.

Regresja liniowa to model statystyczny, który liniowo wiąże jedną lub więcej zmiennych niezależnych ze zmienną zależną. Zatem w modelu regresji liniowej może istnieć więcej niż jedna zmienna objaśniająca, ale związek między zmiennymi objaśniającymi a zmienną odpowiedzi jest liniowy.

Dlatego główna różnica między regresją nieliniową a regresją liniową polega na tym, że równanie modelu regresji nieliniowej jest funkcją nieliniową (wielomianową, logarytmiczną, wykładniczą itp.), podczas gdy równanie modelu regresji nieliniowej jest regresją liniową. funkcja liniowa (pierwszy stopień).