Aksjomaty prawdopodobieństwa

Przez Benjamin Anderson 1 sierpnia, 2023 Bez kategorii 0 komentarzy

W tym artykule wyjaśniono, czym są aksjomaty prawdopodobieństwa. Znajdziesz więc aksjomatyczną definicję prawdopodobieństwa, jakie są różne aksjomaty prawdopodobieństwa i przykład ich zastosowania.

Jakie są 3 aksjomaty prawdopodobieństwa?

Aksjomaty prawdopodobieństwa to:

Aksjomat prawdopodobieństwa 1 : Prawdopodobieństwo zdarzenia nie może być ujemne.
Aksjomat prawdopodobieństwa 2 : Prawdopodobieństwo określonego zdarzenia wynosi 1.
Aksjomat prawdopodobieństwa 3 : Prawdopodobieństwo zbioru zdarzeń wykluczających jest równe sumie wszystkich prawdopodobieństw.

Trzy aksjomaty prawdopodobieństwa są również znane jako aksjomaty Kołmogorowa , ponieważ zostały sformułowane przez tego rosyjskiego matematyka w 1933 roku.

Każdy typ aksjomatu prawdopodobieństwa wyjaśniono bardziej szczegółowo poniżej.

Aksjomat 1

Pierwszy aksjomat prawdopodobieństwa mówi, że prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia nie może być ujemne i dlatego jego wartość mieści się w przedziale od 0 do 1.

$0\leq P(A)\leq 1$

Jeśli prawdopodobieństwo zdarzenia wynosi zero, oznacza to, że nie może ono nastąpić. Z drugiej strony, jeśli prawdopodobieństwo zdarzenia wynosi 1, oznacza to, że zdarzenie to na pewno nastąpi. Zatem im wyższa wartość prawdopodobieństwa zdarzenia, tym większe prawdopodobieństwo jego wystąpienia.

aksjomat 2

Drugi aksjomat prawdopodobieństwa stwierdza, że prawdopodobieństwo wystąpienia określonego zdarzenia jest równe 1.

$P(\Omega)=1$

Pewne wydarzenie jest wynikiem losowego doświadczenia, które zawsze się wydarzy. Dlatego bezpieczne zdarzenie można również zdefiniować jako przestrzeń próbki losowego eksperymentu.

➤ Zobacz: Bezpieczne wydarzenie

Aksjomat 3

Trzeci aksjomat prawdopodobieństwa stwierdza, że przy danym zbiorze zdarzeń wykluczających łączne prawdopodobieństwo wszystkich zdarzeń jest równe sumie prawdopodobieństw wszystkich zdarzeń.

$A\cap B= \varnothing \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ P(A\cup B)=P(A)+P(B)$

Dwa lub więcej zdarzeń ma charakter wyłączny, gdy nie mogą wystąpić w tym samym czasie. Zatem do obliczenia prawdopodobieństwa łącznego nie jest konieczne uwzględnianie prawdopodobieństwa ich jednoczesnego wystąpienia.

➤ Zobacz: Wykluczanie zdarzeń

Przykład aksjomatów prawdopodobieństwa

Dla przykładu poniżej przeanalizujemy kilka wyników eksperymentu rzucenia kostką, aby zobaczyć, że spełnione są aksjomaty prawdopodobieństwa.

Kiedy rzucasz kostką, istnieje sześć możliwych wyników, które są następujące:

$\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$

W tym przypadku wszystkie wyniki są równie prawdopodobne, więc aby określić prawdopodobieństwo wystąpienia każdego wyniku, wystarczy znaleźć prawdopodobieństwo wystąpienia wyniku. Dlatego stosujemy wzór reguły Laplace’a , aby obliczyć prawdopodobieństwo każdego możliwego wyniku:

$P(\text{cualquier n\'umero})=\cfrac{1}{6}=0,167$

Następnie, ponieważ prawdopodobieństwo uzyskania każdego wyniku jest dodatnie, pierwszy aksjomat prawdopodobieństwa jest spełniony.

Sprawdźmy teraz drugi aksjomat. W tym przypadku określone zdarzenie „otrzymuje liczbę od 1 do 6”, dlatego dodajemy prawdopodobieństwo uzyskania każdego wyniku:

$\begin{array}{l}P(\text{n\'umero del 1 al 6})=\\[2ex]=P(1)+P(2)+P(3)+P(4)+P(5)+P(6)=\\[2ex]=0,167+0,167+0,167+0,167+0,167+0,167=\\[2ex]=1\end{array}$

Zatem prawdopodobieństwo określonego zdarzenia jest równe 1, zatem spełniony jest także drugi aksjomat prawdopodobieństwa.

Na koniec pozostaje jedynie zweryfikować trzeci aksjomat prawdopodobieństwa. Różne wyniki, które możemy uzyskać rzucając kostką, wykluczają się wzajemnie, ponieważ na przykład jeśli wyrzucimy 2, nie możemy już uzyskać 5. Dlatego obliczenia w celu uzyskania dwóch dowolnych liczb można przeprowadzić na dwa sposoby: za pomocą Reguła Laplace’a lub poprzez dodanie prawdopodobieństwa każdego wyniku.

$P(2 \text{ o } 5)=\cfrac{2}{6}=0,33$

$P(2 \text{ o } 5)=P(2)+P(5)=0,167+0,167=0,33$

W obu przypadkach otrzymujemy tę samą wartość prawdopodobieństwa, więc trzeci aksjomat prawdopodobieństwa jest również prawdziwy.

Właściwości wyprowadzone z aksjomatów prawdopodobieństwa

Z trzech aksjomatów prawdopodobieństwa możemy wywnioskować następujące własności:

Prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego wynosi zero.

$P(\varnothing)=0$

Prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia jest równe lub mniejsze niż 1.

$P(A)\leq 1$

$0\leq P(A)\leq 1$

Prawdopodobieństwo zdarzenia jest równe jeden minus prawdopodobieństwo zdarzenia uzupełniającego .

$P(A)=1-P\left(\overline{A}\right)$

Jeżeli zdarzenie jest zawarte w innym zdarzeniu, prawdopodobieństwo pierwszego zdarzenia musi być mniejsze lub równe prawdopodobieństwu drugiego zdarzenia.

$A\subset B \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ P(A)\leq P(B)$

Prawdopodobieństwo połączenia dwóch zdarzeń jest sumą ich prawdopodobieństw minus prawdopodobieństwo ich przecięcia.

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

Biorąc pod uwagę zbiór niezgodnych zdarzeń dwa na dwa, ich łączne prawdopodobieństwo oblicza się, dodając prawdopodobieństwo wystąpienia każdego zdarzenia.

$P(A_1\cup A_2 \cup \ldots\cup A_n)=P(A_1)+P(A_2)+\ldots+P(A_n)$

Jeśli przestrzeń próbek jest skończona, a zdarzenie ma wartość S={x ₁ ,x ₁ ,…,x _k }, prawdopodobieństwo wystąpienia tego zdarzenia jest równoważne wyrażeniu:

$P(S)=P(x_1)+P(x_2)+\ldots+P(x_n)$

o autorze

Dr Benjamin Anderson

Cześć, jestem Benjamin i jestem emerytowanym profesorem statystyki, który został oddanym nauczycielem Statorials. Dzięki bogatemu doświadczeniu i wiedzy specjalistycznej w dziedzinie statystyki chętnie dzielę się swoją wiedzą, aby wzmocnić pozycję uczniów za pośrednictwem Statorials. Wiedzieć więcej